Задача 64995 Найти объем тела ограниченного...
Условие
Решение
Снизу тело ограничено пл. [m] z=0[/m]
Сверху пл. [m]y+2z=2[/m] ⇒ [m]z=\frac{2-y}{2}[/m]
При[m] z=0 ⇒ y=2[/m] - линия пересечения пл [m]y+2z=2[/m] с пл[m] z=0[/m]
Проекцией тела на пл. хОу является область D ( см. рис. 3)
Находим координаты точек пересечения
[m]y=2[/m]
[m]y=\frac{1}{3}x^2[/m] ⇒ [m]\frac{1}{3}x^2=2[/m] ⇒ [m]x= ± \sqrt{6}[/m]
[m]-\sqrt{6} ≤ x ≤ \sqrt{6}[/m]
[m] \frac{1}{3}x^2 ≤ y ≤ 2[/m]
[m]V= ∫ ∫ _{D}\frac{2-y}{2}dxdy= ∫_{-\sqrt{6}} ^{\sqrt{6}}( ∫_{\frac{1}{3}x^2}^{2}\frac{2-y}{2}dy)dx= [/m]
[m]= ∫_{-\sqrt{6}} ^{\sqrt{6}}\frac{1}{2}(∫_{\frac{1}{3}x^2}^{2}(2-y)dy)dx=[/m]
[m]=∫_{-\sqrt{6}} ^{\sqrt{6}}\frac{1}{2}(2y-\frac{y^2}{2})|_{\frac{1}{3}x^2}^{2}dx=[/m]
[m]=∫_{-\sqrt{6}} ^{\sqrt{6}}\frac{1}{2}((2\cdot2 -\frac{2^2}{2})-(2\cdot {\frac{1}{3}x^2}-\frac{(\frac{1}{3}x^2)^2}{2}))dx=∫_{-\sqrt{6}} ^{\sqrt{6}}(1-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{36}x^4)dx=...[/m]
cчитайте определенный интеграл
