Задача 64994 привести данное уравнение поверхности к...
Условие
Решение
Выделяем полные квадраты:
[m](7х^2-4x)+(6у^2-4y)+5z^2=18[/m]
[m]7(х^2-\frac{4}{7}x)+6(у^2-\frac{4}{6}y)+5z^2=18[/m]
Применяем формулу
[m]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2[/m]
[m]7(х^2-2\cdot x \cdot \frac{2}{7})+6(у^2-2\cdot y\cdot \frac{2}{6}y)+5z^2=18[/m]
В первой скобке [m]b=\frac{2}{7}[/m]; во второй [m]b=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/m];
Прибавим и отнимем в каждой скобке [m] b^2[/m]- квадрат второго слагаемого
[m]7(х^2-2\cdot x \cdot \frac{2}{7}x+(\frac{2}{7})^2-(\frac{2}{7})^2)+6(у^2-2\cdot \frac{1}{3}y+(\frac{1}{3})^2-(\frac{1}{9})^2)+5z^2=18[/m]
[m]7(х^2-2\cdot x \cdot \frac{2}{7}x+(\frac{2}{7})^2)-7\cdot (\frac{2}{7})^2+6(у^2-2\cdot \frac{1}{3}y+(\frac{1}{3})^2)-6\cdot (\frac{1}{3})^2+5z^2=18[/m]
[m]7(х-\frac{2}{7})^2- (\frac{4}{7}+6(у- \frac{1}{3})^2-\frac{2}{3}+5z^2=18[/m] ⇒
[m]7(х-\frac{2}{7})^2+6(у- \frac{1}{3})^2+5z^2=18+ (\frac{4}{7}+\frac{2}{3}[/m]
[m]7(х-\frac{2}{7})^2+6(у- \frac{1}{3})^2+5z^2=\frac{404}{21}[/m]
Делим обе части уравнения на [m]\frac{404}{21}[/m]
Получаем каноническое уравнение эллипсоида:
[m]\frac{(х-\frac{2}{7})^2}{\frac{404}{7\cdot 21}}+\frac{(у- \frac{1}{3})^2}{\frac{404}{6\cdot 21}}+\frac{z^2}{\frac{404}{5\cdot 21}}=1[/m]
[m]\frac{(х-\frac{2}{7})^2}{\frac{404}{147}}+\frac{(у- \frac{1}{3})^2}{\frac{404}{126}}+\frac{z^2}{\frac{404}{105}}=1[/m]
со смещенным центром [m](\frac{2}{7}; \frac{1}{3};0)[/m]
Метод сечений:
Пересекаем тело плоскостями параллельными плоскости xOy
Уравнение таких плоскостей имеет вид:
z=h
Решаем систему yравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}z=h\\\frac{(х-\frac{2}{7})^2}{\frac{404}{147}}+\frac{(у- \frac{1}{3})^2}{\frac{404}{126}}+\frac{z^2}{\frac{404}{105}}=1\end {matrix}\right.[/m]
⇒ [m]\frac{(х-\frac{2}{7})^2}{\frac{404}{147}}+\frac{(у- \frac{1}{3})^2}{\frac{404}{126}}+\frac{h^2}{\frac{404}{105}}=1[/m]
⇒ [m]\frac{(х-\frac{2}{7})^2}{\frac{404}{147}}+\frac{(у- \frac{1}{3})^2}{\frac{404}{126}}=1-\frac{h^2}{\frac{404}{105}}[/m]
При [m]1-\frac{h^2}{\frac{404}{105}}>0[/m] ⇒ [m]h^2 <\frac{404}{105}[/m]
это уравнение задает эллипс
[m] \frac{(х-\frac{2}{7})^2}{\frac{404}{147}\cdot (1-\frac{h^2}{\frac{404}{105}}) }+\frac{(у- \frac{1}{3})^2}{\frac{404}{126}\cdot (1-\frac{h^2}{\frac{404}{105}})}=1[/m]
можно упростить:
[m] \frac{(х-\frac{2}{7})^2}{\frac{404-105h^2}{147} }+\frac{(у- \frac{1}{3})^2}{\frac{404-105h^2}{126} }=1[/m]
При [m]h= ±\sqrt{ \frac{404}{105}}[/m]
получаем две точки:
[m](\frac{2}{7}; \frac{1}{3}; -\sqrt{ \frac{404}{105}})[/m] и [m](\frac{2}{7}; \frac{1}{3}; \sqrt{ \frac{404}{105}})[/m]
Аналогично исследуем
при y=h
и
при x=h