Задача 64980 ...

61ae306f3504e8547126c167

06.06.2022 16:04:06

Решить неравенство [m]log_2(x) + 2log_x(2) ≥ \frac{3}{(log_2(x))^3}[/m] (желательно с ОДЗ).

626fab9a354ab65fb2f43abb

06.06.2022 16:43:10

★

[m]log_2(x) + 2log_x(2) ≥ \frac{3}{(log_2(x))^3}[/m]
Область определения:
x > 0; x ≠ 1
x ∈ (0; 1) U (1; +∞)
Решаем само неравенство заменой:
log_2(x) = y ≠ 0 (потому что x≠1); тогда log_x(2) = 1/y
y + 2/y ≥ 3/y^3
Умножаем всё на y^3:
y^4 + 2y^2 ≥ 3
y^4 + 2y^2 - 3 ≥ 0
Биквадратное неравенство, решаем, как квадратное:
(y^2 + 3)(y^2 - 1) ≥ 0
(y^2 + 3)(y + 1)(y - 1) ≥ 0
y^2 + 3 > 0 при любом y, поэтому:
y1 = log_2(x) = -1; x1 = 2^(-1) = 1/2
y2 = log_2(x) = 1; x2 = 2^1 = 2
x ∈ (0; 1/2] U [2; +∞)

Ответ: x ∈ (0; 1/2] U [2; +∞)