Задача 64979 а) Решить уравнение [m]5^{2log_2^2 (sin...
Условие
Решение
Область определения:
sin x > 0
x ∈ (2π*k; π + 2π*k); k ∈ Z
а) Решить уравнение. Делаем замену:
log_2 (sin x) = y
Получаем:
5^(2y^2) = 5/5^y
Умножаем на 5^y:
5^(2y^2 + y) = 5
Переходим от степеней к показателям:
2y^2 + y = 1
2y^2 + y - 1 = 0
(y + 1)(2y - 1) = 0
y1 = log_2 (sin x) = -1
sin x = 2^(-1) = 1/2
[b]x1 = π/6 + 2π*k, k ∈ Z; x2 = 5π/6 + 2π*k, k ∈ Z[/b]
y2 = log_2 (sin x) = 1/2
sin x = 2^(1/2) = sqrt(2) > 1 - не подходит.
б) Найти корни на промежутке [π; 5π/2].
Корни: π/6 , 5π/6 < π
π/6 + 2π = 13π/6 ∈ [π; 5π/2] - подходит.
5π/6 + 2π = 17π/6 > 5π/2
Подходит только 1 корень:
[b]x1 = 13π/6[/b]