Задача 64964 Найти кол-во свободных производных в...
Условие
Решение
y' - 5/4*y = 1/4*sin(4x)
Неоднородное линейное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - 5/4*u*v = 1/4*sin(4x)
Выносим за скобки u:
u'*v + u*(v' - 5/4*v) = 1/4*sin(4x)
Скобку приравниваем к 0:
v' - 5/4*v = 0
dv/dx = 5/4*v
dv/v = 5/4*dx
ln v = 5/4*x = 5x/4
v = e^(5x/4)
Подставляем в уравнение:
u'*e^(5x/4) + u*0 = 1/4*sin(4x)
u' = 1/4*sin(4x)*e^(-5x/4)
u = 1/4* ∫ sin(4x)*e^(-5x/4) dx
Этот интеграл можно решить по частям:
∫ t dz = t*z - ∫ z dt
t = sin(4x); dz = e^(-5x/4) dx; dt = 4cos(4x) dx; z = -4/5*e^(-5x/4)
u = 1/4*(-4/5*sin(4x)*e^(-5x/4) + 16/5* ∫ cos(4x)*e^(-5x/4) dx) =
= -1/5*sin(4x)*e^(-5x/4) + 4/5*∫ cos(4x)*e^(-5x/4) dx
Этот интеграл берём опять по частям:
t = cos(4x); dz = e^(-5x/4) dx; dt = -4sin(4x) dx; z = -4/5*e^(-5x/4)
u = -1/5*sin(4x)*e^(-5x/4) + 4/5*(-4/5*cos(4x)*e^(-5x/4) -
- 16/5* ∫ sin(4x)*e^(-5x/4) dx)
u = -1/5*sin(4x)*e^(-5x/4) - 16/25*cos(4x)*e^(-5x/4) -
- 64/25*∫ sin(4x)*e^(-5x/4) dx
Получили интересное интегральное уравнение.
Обозначим I = ∫ sin(4x)*e^(-5x/4) dx
(I - Это большая латинская буква И, или Ай)
u = 1/4*I = 1/5*sin(4x)*e^(-5x/4) - 16/25*cos(4x)*e^(-5x/4) - 64/25*I
(1/4 + 64/25)*I = 1/5*sin(4x)*e^(-5x/4) - 16/25*cos(4x)*e^(-5x/4)
(25/100+256/100)*I = 1/5*sin(4x)*e^(-5x/4) - 16/25*cos(4x)*e^(-5x/4)
281/100*I = 1/5*sin(4x)*e^(-5x/4) - 16/25*cos(4x)*e^(-5x/4)
I = 100/(5*281)*sin(4x)*e^(-5x/4) - 16*100/(25*281)*cos(4x)*e^(-5x/4) + 4C
I = 20/281*sin(4x)*e^(-5x/4) - 64/281*cos(4x)*e^(-5x/4) + 4C
u = 1/4*I = 5/281*sin(4x)*e^(-5x/4) - 16/281*cos(4x)*e^(-5x/4) + C
Возвращаемся к нашей функции y(x):
y(x) = u*v = e^(5x/4)*(20/281*sin(4x)*e^(-5x/4) - 64/281*cos(4x)*e^(-5x/4) + C)
e^(5x/4) и e^(-5x/4) сокращаются.
Общее решение:
y(x) = 20/281*sin(4x) - 64/281*cos(4x) + C*e^(5x/4)
Всё!!!
Количество свободных производных сами ищите, у меня уже сил нет.