Задача 64940 Из партии, в которой 12 стандартных и 4...
Условие
Найти вероятность того, что среди взятых деталей:
1) все три стандартных;
2) не более одного нестандартного;
3) по крайней мере одна нестандартная
Решение
Всего 16 деталей. Берут 3 детали с возвращением.
Если берут с возвращением, то вероятность вынуть стандартную деталь каждый раз:
p = 12/16 = 3/4
А вероятность вынуть нестандартную каждый раз:
q = 1 - p = 1 - 3/4 = 1/4
1. Вероятность, что все 3 детали будут стандартными, это произведение трёх вероятностей, что каждый раз деталь будет стандартной:
[b]P(3)[/b] = p^3 = (3/4)^3 = 3^3/4^3 [b]= 27/64[/b]
2. Вероятность, что будет не более одной нестандартной, складывается из двух вероятностей:
1) Будет 0 нестандартных, то есть все 3 стандартных.
Эту вероятность мы уже посчитали, P(3) = 27/64
2) Будет 1 нестандартная и 2 стандартных.
Эту 1 нестандартную можно вынуть 3 способами:
2а) 1 нестандартная, 2 и 3 стандартные.
p(1) = 1/4*3/4*3/4 = 9/64
2б) 2 нестандартная, 1 и 3 стандартные.
p(2) = 3/4*1/4*3/4 = 9/64
2в) 3 нестандартная, 1 и 2 стандартные.
p(3) = 3/4*3/4*1/4 = 9/64
Общая вероятность, что будет 1 нестандартная деталь, складывается из этих трёх вероятностей:
P(2) = p(1) + p(2) + p(3) = 3*9/64 = 27/64
И наконец, вероятность, что нестандартных деталей будет не больше 1, равна сумме вероятностей P(3) и P(2):
[b]P[/b] = P(3) + P(2) = 27/64 + 27/64 = 54/64 [b]= 27/32[/b]
3. Вероятность, что будет по крайней мере 1 нестандартная - это дополнение до случая 1), когда все 3 стандартных.
[b]Q[/b] = 1 - P(3) = 1 - 27/64 [b]= 37/64[/b]