Задача 64929 1 курс - мат.анализ ...
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂f }{ ∂l }=\frac{ ∂f }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂f }{ ∂y }cos β+\frac{ ∂f }{ ∂z }cos γ [/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂f }{ ∂l }|_{A}=\frac{ ∂f }{ ∂x }|_{A}\cdot cos α +\frac{ ∂f }{ ∂y }|_{A}\cdot cos β +\frac{ ∂f }{ ∂z }|_{A}\cdot cos γ [/m]
Направляющий вектор: [m]\vec{v}=(-3,2;5)[/m]
[m]|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^2+2^2+5^2}=\sqrt{38}[/m]
Направляющие косинусы:
[m]cos α =\frac{x_{\vec{v}}}{|\vec{v}|}=-\frac{3}{\sqrt{38}}[/m]; [m]cos β =\frac{y_{\vec{v}}}{|\vec{v}|}=\frac{2}{\sqrt{38}}[/m]; [m]cos γ =\frac{z_{\vec{v}}}{|\vec{v}|}=\frac{5}{\sqrt{38}}[/m];
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂f}{ ∂x }=(z^3-x^2y)`_{x}=0-y\cdot(x^2)`_{x}=- 2xy[/m]
[m]\frac{ ∂f}{ ∂y }=(z^3-x^2y)`_{y}=0-x^2\cdot (y)`_{y}=-x^2[/m]
[m]\frac{ ∂f}{ ∂z }=(z^3-x^2y)`_{z}=1-0=-1[/m]
Находим частные производные в точке:
[m]\frac{ ∂f }{ ∂x }_{A}=-2\cdot (-5)\cdot (-5)=-50[/m]
[m]\frac{ ∂f }{ ∂y }_{A}=-(-5)^2=-25[/m]
[m]\frac{ ∂f }{ ∂z }_{A}=-1[/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=-50\cdot (-\frac{3}{\sqrt{38}})-25\cdot (\frac{2}{\sqrt{38}})-1\cdot \frac{5}{\sqrt{38}}=\frac{95}{\sqrt{38}}=\frac{5\sqrt{38}}{2}[/m]