Задача 64893 Номер 6.11 и всё. ...
Условие
Решение
Градиент:
[m]grad z=\frac{ ∂z }{ ∂x }\cdot \vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }\cdot \vec{j}[/m]
Градиент в точке
[m]grad z|_{A}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}\cdot \vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}\cdot \vec{j}[/m]
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(4x^2+9y^2–4x-6y+3)`_{x}=8x-4[/m]
[m]\frac{ ∂z}{ ∂y }=(4x^2+9y^2–4x-6y+3)`_{y}=18y-6[/m]
[m]gradz=(8x-4)\cdot \vec{i}+(18y-6)\cdot \vec{j}[/m]
Находим частные производные в точке А (1;0)
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}=8\cdot 1-4=4[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}=18\cdot 0-6=-6[/m]
[m]gradu|_{A}=4\cdot \vec{i}-6\cdot \vec{j}[/m]
2)Производная по направлению:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }=\frac{ ∂z }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }cos β [/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}cos β [/m]
[m]\vec{a}=(5;-1)[/m]
Тогда
[m]|\vec{a}|=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{26}[/m]
Направляющие косинусы:
[m]cos α =\frac{5}{\sqrt{26}}[/m]; [m]cos β =-\frac{1}{\sqrt{26}}[/m];
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(4x^2+9y^2–4x-6y+3)`_{x}=8x-4[/m]
[m]\frac{ ∂z}{ ∂y }=(4x^2+9y^2–4x-6y+3)`_{y}=18y-6[/m]
Находим частные производные в точке А (1;0)
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}=8\cdot 1-4=4[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}=18\cdot 0-6=-6[/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=4\cdot \frac{5}{\sqrt{26}}-6\cdot (-\frac{1}{\sqrt{26}})= \frac{26}{\sqrt{26}}=\sqrt{26}[/m]
3)[m] f(x;y)=4x^2+9y^2–4x-6y+3[/m]
[b]1.[/b]Находим частные производные
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(4x^2+9y^2–4x-6y+3)`_{x}=8x-4[/m]
[m]\frac{ ∂z}{ ∂y }=(4x^2+9y^2–4x-6y+3)`_{y}=18y-6[/m]
[b]2.[/b]Находим стационарные точки:
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{ ∂z }{ ∂x }=0\\\frac{ ∂z}{ ∂y }=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}8x-4=0\\18y-6=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m]
M_(1)(1/2; 1/3)
Исследуем эту точку на экстремум
