Задача 64879 Неопределённый интеграл. Найти интеграл:...
Условие
Решение
x^2+4x-5=x^2+4x+4-9=(x^2+4x+4)-9=(x+2)^2-9
[red]Замена переменной:[/red]
x+2=t ⇒
[b]x=t-2[/b]
dx=(t-2)`dt
[b]dx=dt[/b]
[m] ∫ \frac{xdx}{\sqrt{x^2+4x-5}}= ∫ \frac{(t-2)dt}{\sqrt{t^2-9}}=[/m]
почленно делим:
[m]=∫ \frac{t}{\sqrt{t^2-9}}dt- 2∫ \frac{1}{\sqrt{t^2-9}}dt=[/m]
получили два табличных интеграла
1)
[m]∫ \frac{t}{\sqrt{t^2-9}}dt[/m]- это интеграл вида [m] ∫ \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C[/m]
u=t^2-9
du=(t^2-9)`dt
du=2tdt ⇒ tdt=[m]\frac{1}{2}[/m]du
тогда
[m]∫ \frac{t}{\sqrt{t^2-9}}dt=\frac{1}{2}∫ \frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u}=\sqrt{u}=\sqrt{t^2-9}[/m]
2)
[m]∫ \frac{1}{\sqrt{t^2-9}}dt[/m] - это табличный интеграл см скрин
a^2=9; a=3
[m]∫ \frac{1}{\sqrt{t^2-9}}dt=\frac{1}{2\cdot 3}ln|\frac{t-3}{t+3}|[/m]
Итак
[m] ∫ \frac{xdx}{\sqrt{x^2+4x-5}}= ∫ \frac{(t-2)dt}{\sqrt{t^2-9}}=∫ \frac{t}{\sqrt{t^2-9}}dt-2∫ \frac{1}{\sqrt{t^2-9}}dt=
\frac{1}{2}∫ \frac{d(t^2-9)}{\sqrt{t^2-9}}-2∫ \frac{1}{\sqrt{t^2-9}}dt=[/m]
[m]=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t^2-9}-2\cdot \frac{1}{2\cdot 3}ln|\frac{t-3}{t+3}|+C=\sqrt{x^2+4x-5}-2\cdot\frac{1}{2\cdot 3}ln|\frac{x+2-3}{x+2+3}|+C=\sqrt{x^2+4x-5}-\frac{1}{3}ln|\frac{x-1}{x+5}|+C[/m]
О т в е т. [m]\sqrt{x^2+4x-5}-\frac{1}{ 3}ln|\frac{x-1}{x+5}|+C[/m]