Задача 64866 В прямоугольном треугольнике ABC к...

62926ae3f5156b29d0d0efbf

28.05.2022 21:35:00

В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе АВ про ведены высота СН и медиана СМ. Найдите площадь тре угольника ABC, если СМ = 10, а АH : HB - 1 : 4.

626fab9a354ab65fb2f43abb

28.05.2022 23:21:34

★

CM = 10, AH : HB = 1 : 4
Найти S(ABC)
Решение.
Смотрите рисунок.
У прямоугольного треугольника медиана из прямого угла равна половине гипотенузы.
CM = AM = MB = 10
AB = AM + MB = 20
Отношение AH : HB = 1 : 4
AH = x, HB = 4x
AB = AH + HB = x + 4x = 5x
Получаем уравнение:
5x = 20
x = AH = 20 : 5 = 4
HB = 4x = 4*4 = 16
Теперь заметим, что треугольники ABC, ACH, BCH - подобны.
Потому что они все прямоугольные, и один угол - общий.
У ABC и ACH общий угол A, у ABC и BCH общий угол B.
Значит, их стороны пропорциональны друг другу.
{ AH : AC = CH : BC
{ HB : BC = CH : AC
Подставим известные стороны:
{ 4 : AC = CH : BC
{ 16 : BC = CH : AC
По свойствам пропорции:
{ CH = 4*BC/AC
{ CH = 16*AC/BC
Приравниваем правые части:
4*BC/AC = 16*AC/BC
Сократим на 4 и заменим AC/BC = y, тогда BC/AC = 1/y
1/y = 4y
y^2 = 1/4
y = AC/BC = 1/2
BC = 2*AC
Но по теореме Пифагора:
AC^2 + BC^2 = AB^2
AC^2 + (2*AC)^2 = 20^2
AC^2 + 4*AC^2 = 400
5*AC^2 = 400
AC^2 = 400/5 = 80
AC = sqrt(80) = sqrt(16*5) = 4sqrt(5)
BC = 2*AC = 8sqrt(5)
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S(ABC) = AC*BC/2 = 4sqrt(5)*8sqrt(5)/2 = 32*5/2 = 80

Ответ: S = 80

5f4f94e7869d6262826fbc82

29.05.2022 08:36:17

СМ-медиана ⇒ М-середина гипотенузы АВ ⇒ ВМ=АМ=10, АВ=20.
АH : HB = 1 : 4 , на АВ приходится 5 частей и на одну часть приходится 20:5=4 ⇒
ВН=4*4=16 , АН=1*4=4
Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу :
ВС= √(20*16)= 4√20
АС= √(20*4) = 2√20
AC2 + BC2 = AB2
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S(ABC) =1/2* AC·BC = 2√20*4√20 =1/2*8*20= 80(ед2)