Задача 64864 Разложить функции у в ряд Маклорена,...

6233712543d7f94828497e23

28.05.2022 17:52:03

Разложить функции у в ряд Маклорена, используя разложения в степенные ряды по степеням x функций е^x ,sinx, cosx, (4+ x)^m. Указать интервал сходимости полученных рядов.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.05.2022 23:24:09

★

a)

[m]y=\sqrt[4]{1-x^2}[/m] ⇒ [m]y=(1-x^2)^{\frac{1}{4}}[/m]

[m]y=(1+(-x^2))^{\frac{1}{4}}[/m]

По формуле см.. скрин


[m](1+(-x^2))^{\frac{1}{4}}=1+\frac{\frac{1}{4}}{1!}(-x^2)+\frac{\frac{1}{4}\cdot (\frac{1}{4}-1)}{2!}(-x^2)^2+frac{\frac{1}{4}\cdot (\frac{1}{4}-1)\cdot (\frac{1}{4}-2)}{3!}(-x^2)^3+...[/m]

|(-x)^2|< 1 ⇒ (-1;0) U (0;1)

При х=0 ряд сходится ⇒

(-1;1)-интервал сходимости


б)

[m]sh2x=(2x)+\frac{(2x)^3}{3!}+\frac{(2x)^5}{5!}+...[/m]

⇒

[m]sh2x=(2x)+\frac{8}{3!}x^3+\frac{32}{5!}x^5+...[/m]


[m]ch2x=1+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^4}{4!}+...[/m]

⇒

[m]ch2x=1+\frac{4}{2!}x^2+\frac{16}{4!}x^4+...[/m]


Тогда

y=sh2x-ch2x

[m]y=-1+2x-\frac{4}{2!}x^2+\frac{(2x)^3}{3!}-\frac{16}{4!}x^4+\frac{(2x)^5}{5!}+...[/m]

- ∞ <x <+ ∞ - интервал сходимости


--------------------