Задача 64863 Математика ...
Условие
Решение
Область определения: число под логарифмом должно быть > 0
16 + 4x - x^2 > 0
Меняем знаки, при это знак неравенства тоже меняется:
x^2 - 4x - 16 < 0
D = (-4)^2 - 4(-16) = 16 + 64 = 80 = (4sqrt(5))^2
x1 = (4 - 4sqrt(5))/2 = 2 - 2sqrt(5) < 0
x2 = (4 + 4sqrt(5))/2 = 2 + 2sqrt(5) > 4
x ∈ (2 - 2sqrt(5); 2 + 2sqrt(5))
Теперь решаем само неравенство.
У логарифмов есть такое свойство:
[m]log_a (b) = \frac{log_c (b)}{log_c (a)}[/m]
Причем новое основание с может быть любым, лишь бы было:
c > 0; c ≠ 1.
Например, можно перейти к двоичным логарифмам:
[m]log_{0,25} (16 + 4x - x^2) = \frac{log_2 (16 + 4x - x^2)}{log_2 (1/4)} = -\frac{log_2 (16 + 4x - x^2)}{log_2 (4)}[/m]
Подставляем в неравенство:
[m]-\frac{log_2 (16 + 4x - x^2)}{2} >= -2[/m]
Меняем знаки, при этом знак неравенства тоже меняется:
[m]\frac{log_2 (16 + 4x - x^2)}{2} <= 2[/m]
Умножаем всё на 2:
log_2 (16 + 4x - x^2) ≤ 4
Переходим от логарифма к выражению под логарифмом:
16 + 4x - x^2 ≤ 2^4
16 + 4x - x^2 ≤ 16
4x - x^2 ≤ 0
x(4 - x) ≤ 0
x ∈ (-oo; 0] U [4; +oo)
С учетом области определения получаем:
x ∈ (2 - 2sqrt(5); 0] U [4; 2 + 2sqrt(5))