Задача 64849 Найти решение уравнения, удовлетворяющим...

61499cc87c1408291d4044fd

27.05.2022 17:11:39

Найти решение уравнения, удовлетворяющим начальным условиям (y^3)*y''+16=0, y(1)=2, y'(1)=2 (+исследовать начальные условия )

626fab9a354ab65fb2f43abb

27.05.2022 19:05:18

★

Честно скажу - я не знаю, как решать подобные уравнения.
Решил через Вольфрам Альфу, получил такую функцию:
[m]y = \sqrt{C1*x^2 + 2C1*C2*x + C1*C2^2 - 16/C1}[/m]
Тогда
[m]y'=\frac{2C1*x + 2C1*C2}{2*\sqrt{C1*x^2 + 2C1*C2*x + C1*C2^2 - 16/C1}}[/m]
Подставляем начальные условия:
y(1) = 2; y'(1) = 2
{ [m]\sqrt{C1*1^2 + 2C1*C2*1 + C1*C2^2 - 16/C1} = 2[/m]
{ [m]\frac{C1*1 + C1*C2}{\sqrt{C1*1^2 + 2C1*C2*1 + C1*C2^2 - 16/C1}} = 2[/m]
Возводим в квадрат оба уравнения:
{ C1 + 2C1*C2 + C1*C2^2 - 16/C1 = 4
{ [m]\frac{(C1 + C1*C2)^2}{C1 + 2C1*C2 + C1*C2^2 - 16/C1} = 4[/m]
1 уравнение умножаем на C1. Во 2 уравнении раскрываем скобки:
{ C1^2 + 2C1^2*C2 + C1^2*C2^2 - 16 - 4C1 = 0
{ [m]\frac{C1^2 + 2C1^2*C2 + C1^2*C2^2}{C1 + 2C1*C2 + C1*C2^2 - 16/C1} = 4[/m]
И во 2 уравнении умножаем знаменатель и числитель на C1:
{ C1^2 + 2C1^2*C2 + C1^2*C2^2 - 16 - 4C1 = 0
{ [m]\frac{C1(C1^2 + 2C1^2*C2 + C1^2*C2^2)}{C1^2 + 2C1^2*C2 + C1^2*C2^2 - 16} = 4[/m]
В 1 уравнении перенесем минусы направо:
{ C1^2 + 2C1^2*C2 + C1^2*C2^2 = 4C1 + 16
{ [m]\frac{C1(C1^2 + 2C1^2*C2 + C1^2*C2^2)}{C1^2 + 2C1^2*C2 + C1^2*C2^2 - 16} = 4[/m]
Подставляем левую часть 1 уравнения во 2 уравнение:
[m]\frac{C1(4C1 + 16)}{4C1 + 16 - 16} = 4[/m]
Упрощаем:
C1(4C1 + 16) = 4С1*4
4C1^2 + 16C1 = 16C1
С1 = 0
Но тогда получается:
0^2 + 2*0^2*C2 + 0^2*C2^2 = 4*0 + 16
0 = 16 - это невозможно.
Значит, начальные условия неверны.