Задача 64843 Построить кривые в полярной системе...

62908a05914ab5540a94ef8c

27.05.2022 11:26:51

Построить кривые в полярной системе координат по точкам, придавая ф значения через промежуток п\8 , начиная с ф=0. Найти уравнение полученной линии в прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, привести его к каноническому виду и определить вид кривой.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.05.2022 18:57:17

★

В полярной системе координат используется [b]полярный луч[/b]


Любой луч задается точкой отсчета и направлением.

Направление полярного луча - положительное.


Поэтому на нем откладываем отрезки, значения которыx больше или равны 0

ρ ≥ 0 ⇒ 6 /(3+2cosφ)≥0 ⇒ 3+2cosφ≥0 ⇒ cosφ≥-3/2

Решив это тригонометрическое неравенство получим , что полярный угол



0≤ φ ≤2π



1)

[b]φ =0[/b]⇒ сos0=1
ρ=6/(3+2*1)=6/5=1,2

На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=1,2
получаем точку [b]А (0;1,2)[/b]

ОА=1,2


[b]φ =π/6[/b]⇒сosπ/6=sqrt(3)/2 ≈ 0,87
ρ=6/(3+2*0,87)≈1,27

На луче φ =π/6 откладываем расстояние ρ=1,27
получаем точку[b] В (π/6; 1,27)[/b]

ОВ=1,27


[b]φ =π/4[/b]⇒cos(π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ=6/(3+2*0,7)≈1,36

На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈1,36
получаем точку[b] С (π/4; 1,36)[/b]

ОС=1,36

[b]φ =π/3[/b]⇒cos(π/3)=1/2
ρ=6/(3+2*(1/2))=1,5

На луче φ =π/3 откладываем расстояние ρ=1,5
получаем точку[b] D (π/3;1,5)[/b]

OD=1,5

[b]φ =π/2[/b]⇒cos(π/2)=0
ρ=6/(3+2*0)=6/3=2

На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=2
получаем точку[b] F (π/2;2)[/b]

OF=2


и так далее


2) найти уравнение линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось OX – с
полярной осью
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

[red]ρ =6/(3+2cos φ )[/red]

ρ=sqrt((x^2+y^2))

cos φ =x/sqrt((x^2+y^2))

Тогда уравнение примет вид

[red]sqrt((x^2+y^2))=6/(3+2*(x/sqrt(x^2+y^2) ) )[/red] ⇒

[b]3sqrt(x^2+y^2)+2x=6[/b] ⇒

3sqrt(x^2+y^2)=6-2х

Возводим в квадрат

9(x^2+y^2)=(6-2x)^2

9x^2+9y^2=36-24x+4x^2

5x^2+24x+9y^2=36

можно выделить полный квадрат

5*(x^2+(24/5)x)+9*y^2=36

5*(x^2+2*(12/5)*x+(12/5)^2)+9*y^2=36

Делим на 36:

(x+(12/5))^2/(36/5)+y^2/(36/9)=1

3) определить вид линии по уравнению в декартовой системе координат

5x^2+24x+9y^2=36 - уравнение эллипса со смещенным центром

вида
((x-x_(o))^2/a^2) + ((y-y_(o))^2/b^2)=1


x_(o)=-12/5

y_(o)=0

a^2=36/5

b^2=36/9