Задача 64840 ...

628f3b461a72261f8f5f6289

26.05.2022 19:17:11

Найти частное решение дифференцировки с отделяемым переменным (y²+1)xdx+(1-x²)ydy=0 если y(0)=1

626fab9a354ab65fb2f43abb

26.05.2022 21:13:10

★

(y^2+1)xdx + (1–x^2)ydy = 0 если y(0) = 1
(1–x^2)ydy = -(y^2+1)xdx
ydy/(y^2+1) = -xdx/(1–x^2)
Уравнение с разделенными переменными. Интегрируем.
Решаем заменой:
{ y^2 + 1 = t; dt = 2y dy; y dy = 1/2*dt
{ 1 - x^2 = z; dz = -2x dx; -x dx = 1/2*dz
1/2*∫ dt/t = 1/2*∫ dz/z
ln t = ln z + ln C
t = Cz
y^2 + 1 = C(1 - x^2)
y = sqrt(C(1 - x^2) - 1)
Решаем задачу Коши:
y(0) = 1
sqrt(C(1 - 0^2) - 1) = 1
sqrt(C - 1) = 1
C = 2
y = sqrt(2(1 - x^2) - 1) = sqrt(2 - 2x^2 - 1) = sqrt(1 - 2x^2)