Задача 64838 Найти интегралы ...
Условие
Решение
Универсальная тригонометрическая подстановка:
t = tg(x/2); sin x = 2t/(1+t^2); cos x = (1-t^2)/(1+t^2); dx = 2dt/(1+t^2)
Дробь превращается в такую:
[m]\frac{1}{3+5sin(x)+3cos(x)} = \frac{1}{3+5*2t/(1+t^2)+3(1-t^2)/(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{3(1+t^2)+10t+3(1-t^2)} =[/m]
[m] = \frac{1+t^2}{3+3t^2+10t+3-3t^2} = \frac{t^2+1}{10t+6}[/m]
Дальше можно выделить целую часть:
[m]\frac{t^2+1}{10t+6} = \frac{0,1t(10t+6) - 0,6t+1}{10t+6} = 0,1t - \frac{0,6t-1}{10t+6} = 0,1t - \frac{0,06(10t+6)-0,36+1}{10t+6} = [/m]
[m]= 0,1t - 0,06 + \frac{1-0,36}{10t+6} = 0,1t - 0,06 + \frac{0,64}{10t+6}[/m]
Решаем интеграл:
∫ [m](0,1t - 0,06 + \frac{0,64}{10t+6}) dt = 0,1*t^2/2 - 0,06t + 0,64*0,1*ln(10t+6) + C =[/m]
[m]= 0,05*tg^2(x/2) - 0,06*tg(x/2) + 0,064*ln(10tg(x/2) + 6) + C[/m]
1491. ∫ [m]\frac{cos^2(x) dx}{sin^2(x) + 4sin(x)*cos(x)}[/m] dx
Замена ctg x = t; cos^2 x = [m]\frac{t^2}{1+t^2}[/m]; sin^2 x = [m]\frac{1}{1+t^2}[/m];
sin x*cos x = [m]\frac{t}{1+t^2}[/m]; dt = [m]\frac{-1}{sin^2 x}[/m] dx = -(1+t^2) dx; dx = [m]\frac{-dt}{1+t^2}[/m]
Дробь превращается в такую:
[m]-\frac{t^2/(1+t^2)}{1/(1+t^2) + 4t/(1+t^2)}*\frac{1}{1+t^2} = -\frac{t^2}{(4t+1)(1+t^2)}[/m]
Это можно решить методом неопределенных коэффициентов:
[m]-\frac{t^2}{(4t+1)(1+t^2)} = -(\frac{A}{4t+1} + \frac{Bt+C}{t^2+1}) =[/m]
[m]= -(\frac{A(t^2+1) + (Bt+C)(4t+1)}{(4t+1)(1+t^2)}) = [/m]
[m]= -(\frac{At^2+A + 4Bt^2+4Ct+Bt+C}{(4t+1)(1+t^2)}) = [/m]
[m]= -(\frac{(A+4B)t^2+(B+4C)t+(A+C)}{(4t+1)(1+t^2)})[/m]
Составляем систему по степеням t:
{ A + 4B = 1
{ B + 4C = 0
{ A + C = 0
Решаем:
{ A = -C
{ B = -4C
{ -C + 4(-4C) = 1
Получаем:
{ C = -1/17
{ A = 1/17
{ B = 4/17
Подставляем в нашу дробь:
[m]-\frac{t^2}{(4t+1)(1+t^2)} = -(\frac{1/17}{4t+1} + \frac{4t/17- 1/17}{t^2+1}) =[/m]
[m]= -1/17*(\frac{1}{4t+1} + \frac{4t}{t^2+1} - \frac{1}{t^2+1})[/m]
Решаем интеграл:
∫ [m]-1/17*(\frac{1}{4t+1} + \frac{4t}{t^2+1} - \frac{1}{t^2+1}) dt = [/m]
[m]= -1/17*(1/4*ln|4t+1| + 2ln(t^2+1) + arcctg(t)) + C[/m]
Делаем обратную замену t = ctg x:
∫ [m]\frac{cos^2(x) dx}{sin^2(x) + 4sin(x)*cos(x)}[/m] dx = -1/17*(1/4*ln|4ctg(x)+1|+2ln(ctg^2(x)+1)+x)+C