Задача 64827 89. Составить уравнение прямой,...
Условие
Решение
Составить уравнение прямой b || a, и лежащей на расстоянии 4 единицы от точки А.
1) Если прямая b || a, то у b такие же коэффициенты, как у a.
8(x - x0) - 15(y - y0) = 0
При этом расстояние от M0(x0; y0) до A(4; -2) должно быть равно 4.
То есть нужно провести прямую c ⊥ a и проходящую через точку А.
А потом взять на этой прямой точку M0 на расстоянии |AM0| = 4.
Общее уравнение такой прямой:
15(x - 4) + 8(y + 2) = 0
15x - 60 + 8y + 16 = 0
15x + 8y - 44 = 0
y = (44 - 15x)/8 (1)
Теперь надо найти такую точку M0 на прямой, что |AM0| = 4
|AM0| = sqrt((x0 - 4)^2 + (y0 + 2)^2) = 4
(x0 - 4)^2 + (y0 + 2)^2 = 16
x0^2 - 8*x0 + 16 + y0^2 + 4*y0 + 4 = 16
Подставляем y0 из уравнения (1)
x0^2 - 8*x0 + 16 + (44 - 15*x0)^2/64 + 4(44 - 15*x0)/8 + 4 = 16
x0^2 - 8*x0 + (44 - 15*x0)^2/64 + 22 - 7,5*x0 + 4 = 0
Умножаем всё на 64
64*x0^2 - 512*x0 + (44 - 15*x0)^2 + 1408 - 480*x0 + 256 = 0
64*x0^2 - 512*x0 + 1936 - 1320*x0 + 225*x0^2 + 1408 - 480*x0 + 256 = 0
289*x0^2 - 2312*x0 + 3600 = 0
D/4 = (-1156)^2 - 289*3600 = 295936 = 544^2
x0(1) = (2312 - 544)/289 = 1768/289 = 104/17 = 208/34
y0(1) = (44 - 15*x0)/8 = (44*17 - 15*104)/(8*17) = -812/(8*17) = -203/34
[b]M1(208/34; -203/34)[/b]
x0(2) = (2312 + 544)/289 = 2856/289 = 168/17 = 336/34
y0(2) = (44 - 15*x0)/8 = (44*17 - 15*168)/(8*17) = -1772/(8*17) = -443/34
[b]M2(336/34; -443/34)[/b]
Общее уравнение прямой b || a:
8(x - x0) - 15(y - y0) = 0
Получается две прямых:
1) 8(x - 208/34) - 15(y + 203/34) = 0
8x - 1664/34 - 15y - 3045/34 = 0
8x - 15y - 4709/34 = 0
8x - 15y - 277/2 = 0
[b]b1: 16x - 30y - 277 = 0[/b]
2) 8(x - 336/34) - 15(y + 443/34) = 0
8x - 2688/34 - 15y - 6645/34 = 0
8x - 15y - 9333/34 = 0
8x - 15y - 549/2 = 0
[b]b2: 16x - 30y - 549 = 0[/b]
На картинке прямые b1 и b2 нарисованы красным, на расстоянии 4 от точки А.
Перпендикулярная прямая с, проходящая через точку А, нарисована зеленым.