Задача 64825 Найти решение задачи Коши для...

61959430dd5fe52fd6cd28e2

26.05.2022 03:02:29

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Сделать проверку.

626fab9a354ab65fb2f43abb

26.05.2022 13:00:50

★

y' - 4xy = -4x^3; y(0) = -1/2
Линейное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - 4x*u*v = -4x^3
Выносим за скобки u:
u'*v + u*(v' - 4x*v) = -4x^3
Приравниваем скобку к 0:
v' - 4x*v = 0
dv/dx = 4x*v
dv/v = 4x dx
ln v = 2x^2
v = e^(2x^2)
Подставляем v в уравнение:
u'*e^(2x^2) + u*0 = -4x^3
u' = -4x^3*e^(-2x^2)
u = -4∫ x^3*e^(-2x^2) dx
Этот интеграл равен:
u = -4(-1/8)(2x^2 + 1)*e^(-2x^2) + C = 1/2*(2x^2 + 1)*e^(-2x^2) + C
Общее решение:
y = u*v = e^(2x^2)*(1/2*(2x^2 + 1)*e^(-2x^2) + C) =
= 1/2*(2x^2 + 1) + C*e^(2x^2) = x^2 + 1/2 + C*e^(2x^2)
Теперь решаем задачу Коши:
y(0) = -1/2
0^2 + 1/2 + C*e^(2*0^2) = -1/2
1/2 + C*1 = -1/2
C = -1
y = x^2 + 1/2 - e^(2x^2)