Задача 64821 Найти интегралы ...
Условие
Решение
Решаем методом по частям.
u = ln x; dv = x dx; du = dx/x; v = x^2/2
∫ x*ln x dx = u*v - ∫ v du = x^2/2*ln x - ∫ x^2/2*dx/x =
= x^2/2*ln x - 1/2*∫ x dx = x^2/2*ln x - x^2/4 + C
[b]∫ x*ln x dx = x^2/2*ln x - x^2/4 + C[/b]
1394. ∫ x^2*arctg x dx
Решаем методом по частям.
u = arctg x; dy = x^2 dx; du = dx/(1+x^2); v = x^3/3
∫ x^2*arctg x dx = u*v - ∫ v du = x^3/3*arctg x - 1/3*∫ [m]\frac{x^3}{1+x^2} dx[/m] = A
Выделяем целую часть дроби:
A = x^3/3*arctg x - 1/3*∫ [m]\frac{x^3+x-x}{x^2+1} dx[/m] =
= x^3/3*arctg x - 1/3*∫ [m](x - \frac{x}{x^2+1}) dx[/m] =
= x^3/3*arctg x - 1/3*x^2/2 + 1/3*1/2*ln(x^2+1) + C
[b]∫ x^2*arctg x dx = x^3/3*arctg x - x^2/6 + 1/6*ln(x^2+1) + C
[/b]
1396. ∫ x^2*sin x dx
Решаем два раза методом по частям.
1) u = x^2; dv = sin x dx; du = 2x dx; v = -cos x
∫ x^2*sin x dx = -x^2*cos x + 2∫ x*cos x dx
2) u = x; dv = cos x dx; du = dx; v = sin x
∫ x^2*sin x dx = -x^2*cos x + 2x*sin x - 2∫ sin x dx =
-x^2*cos x + 2x*sin x + 2cos x + C
[b]∫ x^2*sin x dx = -x^2*cos x + 2x*sin x + 2cos x + C[/b]