Задача 64818 xy'–y/(x+1)=x...
Условие
Решение
y`-(1/(x(x+1)))y=1
Линейное уравнение первого порядка вида:
y`+p(x)*y=q(x)
p(x)=-1/(x(x+1))
q(x)=1
Решение y находим в виде произведения u*v
y=u·v
тогда
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`-(1/(x(x+1)))·u·v=1
u`·v+u(v`-(1/(x(x+1)))·v)=1
Выбираем функцию v так,чтобы
1)
v`-(1/(x(x+1)))v=0
тогда
u`·v-u*0=1⇒
2)u`·v=1
Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
1)
v`-(1/(x(x+1)))·v=0⇒ dv/dx=(1/(x(x+1)))*v⇒ dv/v=(1/(x(x+1)))*dx ⇒ ∫ dv/v=∫ 1/(x(x+1))dx
∫ dv/v= ∫((1/x)-(1/(x+1)))dx
ln|v|=ln|x|-ln|x+1}
ln|v|=ln|x/(x+1)|
v=x/(x+1)
2)
u` *(x/(x+1))=1
du=((x+1)/x)dx
u=∫((x+1)/x)dx
u=∫(1+(1/x))dx
u=x+ln|x|+C
О т в е т. [b]y=u*v=(x+ln|x|+C)*(x/(x+1))[/b]- общее решение