Задача 64817 Найти общее решение дифференциального...
Условие
Решение
Общее решение неоднородного уравнения у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)
Решаем однородное :
y'' +7y' =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+7k=0
k*(k+7)=0
k_(1)=0; k_(2)=-7- корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
Подставляем k_(1)=0; k_(2)=-7:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(0*x)+C_(2)*e^(-7*x)
[blue][b]y_(общее одн.)=С_(1)+C_(2)*e^(-7x)[/b][/blue]
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения
применяем метод неопределенных коэффициентов, так как правая часть уравнения имеет специальный вид:
f(x)=x
k=0 - корень характеристического уравнения, поэтому
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част неод)=(Ax+B)*[b]x[/b]
y_(част неод)=Ax^2+Bx
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част неод)=(Ax^2+Bx)`=2*A*x+B
y``_(част неод)=(2*A*x+B)`=2*A
подставляем в данное уравнение:
2*A+7*(2*A*x+B)=x
14*A*x+(2*A+7*B)=x
14*A=1 ⇒ A=1/14
2*A+7*B=0
2*(1/14)+7*B=0
B=-1/49
О т в е т.
Общее решение :
у_(общее неод)=y_(обще одн.)+y_(част неод)=[blue][b]С_(1)+C_(2)*e^(-7x)[/b][/blue]+(1/14)Ax^2+(-1/49)x
7.
[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{2^{n}}{2^{n}+3^{n}}}{\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}+3^{n+1}}}=lim_{n → ∞ }\frac{2^{n}\cdot (2^{n+1}+3^{n+1})}{(2^{n}+3^{n})\cdot 2^{n+1}}=\frac{3}{2}[/m]
(-3/2;3/2) - интервал сходимости.
Проверяем сходимость ряда в точках:
x=3/2
получаем
∑^( ∞) _(n=1)[m]\frac{2^{n}}{2^{n}+3^{n}}\cdot (\frac{3}{2})^{n}[/m]
∑^( ∞) _(n=1)[m]\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}[/m] - знакоположительный ряд. Расходится.
Не выполняется необходимое условие сходимости
[m]lim_{n → ∞ }a_{n}=lim_{n → ∞ }\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}=[/m]
Неопределенность ( ∞/ ∞ )
Делим на 3^(n)
[m]=lim_{n → ∞ }\frac{1}{(\frac{2}{3})^{n}+1}=\frac{1}{0+1}=1[/m]
x=-3/2
получаем
∑^( ∞) _(n=1)[m]\frac{2^{n}}{2^{n}+3^{n}}\cdot (-\frac{3}{2})^{n}[/m]
[m](-\frac{3}{2})^{n}=(-1)^{n}\cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}[/m]
∑^( ∞) _(n=1)[m]\frac{2^{n}}{2^{n}+3^{n}}\cdot(-1)^{n}\cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}[/m]
∑^( ∞) _(n=1)[m](-1)^{n}\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}[/m]
Знакочередующийся ряд, расходится
по той же причине
[m]lim_{n → ∞ }|a_{n}|=lim_{n → ∞ }\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}=1[/m]