Задача 64801 ...
Условие
Решение
Решаем заменой: t^2 = z; dz = 2t dt; t dt = 0,5 dz
Найдем новые пределы интегрирования:
z(0) = 0^2 = 0; z(oo) = oo
Берем интеграл:
0,5∫_0^(oo)e^(-z) dz = -0,5e^(-z)|_0^(oo)
Теперь подставляем пределы интегрирования:
lim_(z → oo) -0,5*e^(-z) - (-0,5e^0) = -0,5*0 + 0,5*1 = 0,5
Потому что lim_(z → oo) e^(-z) = 0
Ответ: 0,5
6. Тоже решил сделать, это нетрудно.
y'' + 7y' = x
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка.
Сначала решаем однородное:
y'' + 7y' = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 7k = 0
k(k + 7) = 0
k1 = 0; k2 = -7
y0 = C1 + C2*e^(-7x)
Находим частное решение неоднородного уравнения.
Так как один из корней характеристического уравнения = 0, то частное решение имеет вид:
[m]y*[/m] = x*(Ax + B) = Ax^2 + Bx
[m]y*'[/m] = 2Ax + B
[m]y*''[/m] = 2A
Подставляем в уравнение:
y'' + 7y' = x
2A + 7(2Ax + B) = x
14Ax + (2A + 7B) = x
Составляем систему по степеням x:
{ 14A = 1
{ 2A + 7B = 0
Получаем:
{ A = 1/14
{ B = -2A/7 = (-2/14)/7 = -1/49
Частное решение неоднородного уравнения:
[m]y*[/m] = 1/14*x^2 - 1/49*x = x^2/14 - x/49
Полное решение уравнения:
y = y0 + [m]y*[/m] = C1 + C2*e^(-7x) + x^2/14 - x/49