Задача 64800 Найти значение решения уравнения...

628cd844185e36066db5f72c

24.05.2022 19:55:50

Найти значение решения уравнения y'+x/1-x^2 y=1 при x=sqrt(2)/2, c=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.05.2022 12:23:05

★

Линейное уравнение первого порядка вида:

y`+p(x)*y=q(x)

p(x)=x/(1-x^2)

q(x)=1


Решение y находим в виде произведения u*v

y=u·v

тогда

y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`+(x/(1-x^2))·u·v=1

u`·v+u(v`+(x/(1-x^2))·v)=1

Выбираем функцию v так,чтобы
1)v`+(x/(1-x^2)·)v=0

тогда

u`·v+u*0=1⇒

2)u`·v=1

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными


1)
v`+(x/(1-x^2))·v=0⇒ dv/dx=-(x/(1-x^2))*v⇒ dv/v=-(x/(1-x^2))*dx ⇒ ∫ dv/v= (1/2)∫ d(1-x^2)/(1-x^2)

lnv=(1/2)ln|1-x^2|

lnv=ln|1-x^2|^(1/2)

v=sqrt(1-x^2)


2)
u` *sqrt(1-x^2)=1



du=dx/sqrt(1-x^2)

u= ∫dx/sqrt(1-x^2)

u=arcsinx+ C


О т в е т. [b]y=u*v=sqrt(1-x^2)*(arcsinx+ C)[/b]- общее решение

при х=sqrt(2)/2

C=0

y(sqrt(2)/2)=sqrt(1-(sqrt(2)/2)^2)*(arcsinsqrt(2)/2)+ 0)


y(sqrt(2)/2)=(sqrt(2)/2)*(π/4)