Задача 64796 Значение функции в точке экстремума...
Условие
Решение
Необходимое условие существования экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
dz/dx = y - 6x = 0
dz/dy = x + 8y = 0
Составляем систему. 2 уравнение умножаем на 6:
{ -6x + y = 0
{ 6x + 48y = 0
Складываем уравнения:
49y = 0
y = 0; x = 0; z(0; 0) = 0 - 3*0 + 4*0 = 0
Нашли точку O(0; 0; 0), проверим, экстремум ли это.
Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = -6 < 0
B = d^2z/(dxdy) = 1
C = d^2z/dy^2 = 8
D = A*C - B^2 = -6*8 - 1 = -49 < 0
Достаточное условие существования экстремума:
Если D > 0 и A > 0 - это минимум.
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
Если D < 0 - экстремума нет, это "седловая точка".
Если D = 0 - непонятно, нужно искать другими методами.
У нас D < 0, поэтому точка O(0; 0; 0) - седловая точка.
Ответ: Эта функция экстремума не имеет.