Задача 64787 ...

628c8804994c9f478758ba7a

24.05.2022 10:32:52

(1 point) Рассмотрим f(x,y)=x2+y2+x2y+6 в области D={(x,y):|x|≤1,|y|≤1}.

1. Найдите наибольшее значение f(x,y) в области D.
Ответ:
7
2. Найдите наименьшее значение f(x,y) в области D.

626fab9a354ab65fb2f43abb

24.05.2022 16:20:30

★

f(x,y) = x^2 + y^2 + x^2y + 6 в области D={(x,y):|x|≤1,|y|≤1}.
Необходимое условие существования экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ df/dx = 2x + 2xy = 0
{ df/dy = 2y + x^2 = 0
Раскладываем на множители 1 уравнение:
{ 2x(y + 1) = 0
{ 2y + x^2 = 0
Решаем:
x1 = 0; y1 = 0 – находится в области D, подходит.
f(0, 0) = 0 + 0 + 0 + 6 = 6
y2 = –1; x2 = +–√2 – не находится в области D.
Нашли точку M1(0; 0; 6). Проверяем, максимум это или минимум.
Находим производные 2 порядка.
A = d^2f/dx^2 = 2 + 2y; A(0; 0) = 2 > 0
B = d^2f/(dxdy) = 2x; B(0; 0) = 0
C = d^2f/dy^2 = 2
D = A·C – B^2 = 2·2 – 0 = 4 > 0
Достаточное условие существования экстремума:
Если D > 0 и A > 0 – это минимум.
Если D > 0 и A < 0 – это максимум.
Если D < 0 – экстремума в точке нет, это "седловая точка".
Если D = 0 – непонятно, нужны дополнительные исследования.
В нашем случае D > 0 и A > 0, так что
[b]M1(0; 0; 6) – минимум.[/b]
Точки максимума надо искать на границах области D.
x ∈ [–1; 1]; y ∈ [–1; 1]
f(–1; –1) = (–1)^2 + (–1)^2 + (–1)^2(–1) + 6 = 1 + 1 – 1 + 6 = 7
f(–1; 1) = (–1)^2 + (1)^2 + (–1)^2(1) + 6 = 1 + 1 + 1 + 6 = 9
f(1; –1) = (1)^2 + (–1)^2 + (1)^2(–1) + 6 = 1 + 1 – 1 + 6 = 7
f(1; 1) = (1)^2 + (1)^2 + (1)^2(1) + 6 = 1 + 1 + 1 + 6 = 9
[b]Точки максимумов: M2(–1; 1; 9) и M3(1; 1; 9)[/b]


Ответ: 1) 9; 2) 6