Задача 64784 ...

61dda44bfbba1d2c3d9b6f74

24.05.2022 10:24:17

point) Рассмотрим f(x,y)=x2+y2+x2y+2 в области D={(x,y):|x|≤1,|y|≤1}.

1. Найдите наибольшее значение f(x,y) в области D.
Ответ:
2. Найдите наименьшее значение f(x,y) в области D.

626fab9a354ab65fb2f43abb

24.05.2022 13:40:45

★

f(x,y) = x^2 + y^2 + x^2y + 2 в области D={(x,y):|x|≤1,|y|≤1}.
Необходимое условие существования экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ df/dx = 2x + 2xy = 0
{ df/dy = 2y + x^2 = 0
Раскладываем на множители 1 уравнение:
{ 2x(y + 1) = 0
{ 2y + x^2 = 0
Решаем:
x1 = 0; y1 = 0 - находится в области D, подходит.
f(0, 0) = 0 + 0 + 0 + 2 = 2
y2 = -1; x2 = +-sqrt(2) - не находится в области D.
Нашли точку M1(0; 0; 2). Проверяем, максимум это или минимум.
Находим производные 2 порядка.
A = d^2f/dx^2 = 2 + 2y; A(0; 0) = 2 > 0
B = d^2f/(dxdy) = 2x; B(0; 0) = 0
C = d^2f/dy^2 = 2
D = A*C - B^2 = 2*2 - 0 = 4 > 0
Достаточное условие существования экстремума:
Если D > 0 и A > 0 - это минимум.
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
Если D < 0 - экстремума в точке нет, это "седловая точка".
Если D = 0 - непонятно, нужны дополнительные исследования.
В нашем случае D > 0 и A > 0, так что
[b]M1(0; 0; 2) - минимум[/b].
Точки максимума надо искать на границах области D.
x ∈ [-1; 1]; y ∈ [-1; 1]
f(-1; -1) = (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2(-1) + 2 = 1 + 1 - 1 + 2 = 3
f(-1; 1) = (-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2(1) + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 5
f(1; -1) = (1)^2 + (-1)^2 + (1)^2(-1) + 2 = 1 + 1 - 1 + 2 = 3
f(1; 1) = (1)^2 + (1)^2 + (1)^2(1) + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 5
[b]Точки максимумов: M2(-1; 1; 5) и M3(1; 1; 5)[/b]

Ответ: 1) 5; 2) 2