Задача 64773 y''-y'-6y=3/4xe^-2x...
Условие
Решение
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
1) Решаем однородное уравнение:
y'' - y' - 6y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - k - 6 = 0
(k - 3)(k + 2) = 0
k1 = -2; k2 = 3
Решение однородного уравнения:
y0 = C1*e^(-2x) + C2*e^(3x)
2) Находим частное решение неоднородного уравнения.
Так как справа стоит e^(-2x), а (-2) - один из корней характеристического уравнения, то:
[m]y*[/m] = x*(Ax + B)*e^(-2x) = (Ax^2 + Bx)*e^(-2x)
[m]y*'[/m] = (2Ax + B)*e^(-2x) + (Ax^2 + Bx)(-2)*e^(-2x) =
= (2Ax+B-2Ax^2-2Bx)*e^(-2x) = (-2Ax^2+(2A-2B)x+B)*e^(-2x)
[m]y*''[/m] = (-4Ax + (2A-2B))*e^(-2x) +
+ (-2Ax^2+(2A-2B)x+B)(-2)*e^(-2x) =
= (4Ax^2 + (-4A+4B-4A)x + (2A-2B-2B))*e^(-2x) =
= (4Ax^2 + (-8A+4B)x + 2A - 4B)*e^(-2x)
Подставляем в уравнение:
y'' - y' - 6y = 3/4*x*e^(-2x)
(4Ax^2 + (-8A+4B)x + 2A - 4B)*e^(-2x) - (-2Ax^2+(2A-2B)x+B)*e^(-2x) -
- 6(Ax^2 + Bx)*e^(-2x) = 3/4*x*e^(-2x)
Сокращаем e^(-2x):
(4Ax^2 + (-8A+4B)x + 2A - 4B) - (-2Ax^2+(2A-2B)x+B) -
- 6(Ax^2 + Bx) = 3/4*x
Раскрываем скобки:
4Ax^2 + (-8A+4B)x + 2A - 4B + 2Ax^2 - (2A-2B)x - B -
- 6Ax^2 - 6Bx = 3/4*x
Разбиваем по степеням:
(4A+2A-6A)x^2 + (-8A+4B-2A+2B-6B)x + (2A-4B-B) = 3/4*x
Приводим подобные:
0x^2 - 10Ax + (2A - 5B) = 3/4*x
Получаем систему из коэффициентов при равных степенях:
{ -10A = 3/4
{ 2A - 5B = 0
Решаем:
{ A = -3/40 = -0,075
{ B = 2A/5 = -2*0,075/5 = -0,15/5 = -0,03
Частное решение уравнения:
[m]y*[/m] = (Ax^2 + Bx)*e^(-2x) = (-0,075x^2 - 0,03x)*e^(-2x)
Полное решение уравнения:
y = y0 + [m]y*[/m] = C1*e^(-2x) + C2*e^(3x) + (-0,075x^2 - 0,03x)*e^(-2x)