Задача 64761 Второй дифференциал @ 2( Мо) функции 2 =...

61be324ae999dc4d8f52fd53

22.05.2022 17:29:02

Второй дифференциал @ 2( Мо) функции 2 = е*-2*% в точке Мо(4; 2) равен

626fab9a354ab65fb2f43abb

22.05.2022 20:37:39

★

[m] z = e^{y^4 - 2xy}[/m]
Первые производные:
[m]\frac{dz}{dx} = e^{y^4 - 2xy}*(-2y) = -2ye^{y^4 - 2xy}[/m]
[m]\frac{dz}{dy} = e^{y^4 - 2xy}*(4y^3 - 2x) = (4y^3 - 2x)e^{y^4 - 2xy}[/m]
Вторые производные:
[m]\frac{d^2z}{dx^2} = (-2y)e^{y^4 - 2xy}*(-2y) = 4y^2e^{y^4 - 2xy}[/m]
[m]\frac{d^2z}{dxdy} = -2e^{y^4 - 2xy} + (-2y)e^{y^4 - 2xy}(4y^3 - 2x) = (-2 - 8y^4 + 4xy)e^{y^4 - 2xy}[/m]
[m]\frac{d^2z}{dy^2} = 12y^2e^{y^4 - 2xy} + (4y^3 - 2x)e^{y^4 - 2xy}(4y^3 - 2x) = (12y^2 + (4y^3 - 2x)^2)e^{y^4 - 2xy}[/m]
Полный дифференциал второго порядка:
[m]dz^2 = 4y^2e^{y^4 - 2xy}dx^2 + (-2 - 8y^4 + 4xy)e^{y^4 - 2xy}dxdy +[/m]
[m] + (12y^2 + (4y^3 - 2x)^2)e^{y^4 - 2xy}dy^2[/m]
В точке M0(4; 2) этот дифференциал равен:
[m]dz^2 = 4*2^2e^{2^4 - 2*4*2}dx^2 + (-2 - 8*2^4 + 4*4*2)e^{2^4 - 2*4*2}dxdy +[/m]
[m]+ (12*2^2 + (4*2^3 - 2*4)^2)e^{2^4 - 2*4*2}dy^2[/m]
[m]dz^2 = 16e^{16 - 16}dx^2 + (-2 - 128 + 32)e^{16 - 16}dxdy + (48 + (32 - 8)^2)e^{16 - 16}dy^2[/m]
[m]dz^2 = 16dx^2 - 98dxdy + 624dy^2[/m]