Задача 64755 Найти промежутки роста и убывания...
Условие
[m]f(x)= 2x-9/x-5[/m]
Заранее благодарю!
Решение
Область определения: x ≠ 5, x ∈ (-oo; 5) U (5; +oo)
1) Можно найти как обычно, через производную.
[m]y' = \frac{2(x-5) - (2x-9)*1}{(x-5)^2} = \frac{2x-10 - 2x+9}{(x-5)^2} = \frac{-1}{(x-5)^2} < 0[/m] при любом x ≠ 5.
Так как производная отрицательна на всей области определения, то функция всегда убывает.
Минимума и максимума нет, есть только точка разрыва.
2) Но можно найти и без вычисления производной.
[m]y = \frac{2x-9}{x-5} = \frac{2x-10+1}{x-5} = \frac{2(x-5)+1}{x-5} = 2 + \frac{1}{x-5} [/m]
Это по сути функция y = 1/x, но сдвинутая на 5 вправо и на 2 вверх.
И, также, как y = 1/x, она убывает на всей области определения.