Задача 64752 Указать структуру общего решения...
Условие
y'' - 10y' + 25y = (1 + x)e^(-5x)
Решение
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка.
1) Решаем однородное уравнение:
y'' - 10y' + 25y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 10k + 25 = 0
(k - 5)^2 = 0
k1 = k2 = 5
Решение: y0 = (C1 + C2*x)*e^(5x)
2) Находим частное решение неоднородного уравнения:
Справа стоит e^(-5x). Показатель -5 НЕ является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение:
[m]y*[/m] = (Ax + B)*e^(-5x)
Находим его производные:
[m]y*'[/m] = A*e^(-5x) + (Ax + B)(-5)*e^(-5x) =
= (-5Ax + A - 5B)*e^(-5x)
[m]y*''[/m] = (-5A)*e^(-5x) + (-5Ax + A - 5B)(-5)*e^(-5x) =
= (25Ax-5A-5A+25B)*e^(-5x) = (25Ax-10A+25B)*e^(-5x)
Подставляем в уравнение:
(25Ax - 10A + 25B)*e^(-5x) - 10(-5Ax + A - 5B)*e^(-5x) +
+ 25(Ax + B)*e^(-5x) = (1 + x)*e^(-5x)
Сокращаем e^(-5x):
25Ax - 10A + 25B + 50Ax - 10A + 50B + 25Ax + 25B = 1 + x
(25A+50A+25A)*x + (-10A+25B-10A+50B+25B) = x + 1
Приводим подобные:
100A*x + 100B - 20A = x + 1
Составляем систему по коэффициентам при степенях x:
{ 100A = 1
{ 100B - 20A = 1
Получаем:
{ A = 0,01
{ B = 0,012
Подставляем в [m]y*[/m]:
[m]y*[/m] = (0,01x + 0,012)*e^(-5x)
Полное решение уравнения:
y = y0 + [m]y*[/m] = (C1 + C2*x)*e^(5x) + (0,01x + 0,012)*e^(-5x)