Задача 64749 1) Метод замены переменной ...
Условие
Решение
Замена:
[m]1+2cosx=t[/m] ⇒ [m]d(1+2cosx)=dt[/m]
Находим
[m]d(1+2cosx)=(1+2cosx)`dx=2\cdot (-sinx)dx[/m]
Значит
[m]2\cdot (-sinx)dx=dt[/m] ⇒ [m]sinx=-\frac{1}{2}dt[/m]
Тогда
[m] ∫ \frac{sinxdx}{\sqrt{1+2cosx}}= ∫ \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}}=[/m]
Это табличный интеграл
[m]=-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t}+C=-\sqrt{t}+C=-\sqrt{1+2cosx}+C[/m]
2.
Замена
[m]\sqrt{x}=t[/m] ⇒ [m]x=t^2[/m] ⇒ [m]dx=d(t^2)[/m]
[m]dx=d(t^2)=(t^2)`dt=2tdt[/m]
Тогда
[m] ∫ \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx= ∫ \frac{t}{1+t}\cdot 2tdt=2 \cdot∫ \frac{t^2}{1+t} dt=[/m]
неправильная дробь. Выделяем целую часть.
[m] =2\cdot ∫ \frac{t^2-1+1}{1+t} dt=2\cdot ∫ \frac{(t^2-1)+1}{1+t} dt=2 \cdot∫( \frac{(t-1)(t+1)}{1+t} + \frac{1}{1+t})dt=2\cdot ∫ (t-1+ \frac{1}{1+t})dt=[/m]
[m]=2\cdot (\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|)+C=2\cdot (\frac{x}{2}-\sqrt{x}+ln|\sqrt{x}+1|)+C[/m]
