Задача 64734 В треугольнике АВС с прямым углом А,...

628909d659e159604a777353

21.05.2022 18:49:21

В треугольнике АВС с прямым углом А, известно что [АН] высота, СН=2 см, НВ=8 см Запишите в рамку такое число, чтобы полученное высказываение стало истинным АН=...... см

626fab9a354ab65fb2f43abb

21.05.2022 22:14:58

★

Задача не такая простая, как кажется.
Здесь есть 3 прямоугольных треугольника, ABC, ABH, ACH.
И они все подобны друг другу, но с разными коэффициентами.
Обозначим коэффициенты отношения треугольников:
ABH : ABC = k1; ACH : ABC = k2.
Отношения сторон будут такие же:
AB/BC = AH/AC = BH/AB = k1;
AC/BC = AH/AB = CH/AC = k2.
В ABC нам известна гипотенуза BC = 8 + 2 = 10 см.
В ABH нам известен большой катет BH = 8 см.
В ACH нам известен маленький катет CH = 2 см.
И катет AH в обоих треугольниках одинаковый, обозначим его x.
Составляем систему по теореме Пифагора:
{ AB^2 + AC^2 = BC^2
{ AH^2 + BH^2 = AB^2
{ AH^2 + CH^2 = AC^2
Подставляем всё, что нам известно:
BC^2 = 10^2 = 100, BH^2 = 8^2 = 64, CH^2 = 2^2 = 4, AH^2 = x^2
AB = k1*BC = 10*k1; AC = k2*BC = 10*k2
BH = k1*AB = 10*k1*k1 = 10*k1^2; CH = k2*AC = 10*k2^2
AH = k1*AC = k2*AB = 10*k1*k2
Получаем:
{ 100*k1^2 + 100*k2^2 = 100
{ x^2 + 64 = 100*k1^2
{ x^2 + 4 = 100*k2^2
Выразим x^2 из этих уравнений:
{ k1^2 + k2^2 = 1
{ x^2 = 100*k1^2 - 64
{ x^2 = 100*k2^2 - 4
Приравниваем правые части 2 и 3 уравнений:
{ k1^2 + k2^2 = 1
{ 100*k1^2 - 64 = 100*k2^2 - 4
Получаем:
{ k1^2 + k2^2 = 1
{ 100(k1^2 - k2^2) = 60
Или:
{ k1^2 + k2^2 = 1
{ k1^2 - k2^2 = 0,6
Отсюда:
{ k1^2 = 0,8
{ k2^2 = 0,2
Извлекаем корни:
{ k1 = sqrt(0,8)
{ k2 = sqrt(0,2)
Находим высоту:
AH = 10*k1*k2
AH = 10*sqrt(0,8)*sqrt(0,2) = 10sqrt(0,16) = sqrt(16) = 4

Ответ: AH = 4 см