Задача 64721 2) Интегрирование функций, содержащих...
Условие
Решение
Выделяем полный квадрат
x^2-6x+13=x^2-6x+9+4=(x-3)^2+4
Замена переменной
х-3=t
x=t+3
dx=(t+3)`dt
dx=dt
Тогда
[m] ∫ \frac{1}{x^2-6x+13}dx=∫ \frac{1}{(x-3)^2+4}dx= ∫ \frac{1}{t^2+4}dt=[/m]
это табличный интеграл ( см. скрин, формула 11) [m]a^2=4[/m] ⇒ [m]a=2[/m]
[m]=\frac{1}{2}arctg \frac{t}{2}+C=[/m]
обратная замена
[m]=\frac{1}{2}arctg \frac{x-3}{2}+C[/m]
2.
Выделяем полный квадрат
x^2+2x+3=x^2+2x+1+2=(x+1)^2+2
Замена переменной
х+1=t
x=t-1
dx=(t-1)`dt
dx=dt
Тогда
[m] ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+3}}dx= ∫ \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+2}}dx=∫ \frac{1}{\sqrt{t^2+2}}dt[/m]
это табличный интеграл ( см. скрин, формула 16) [m]a^2=2[/m] ⇒
[m]=ln|t+\sqrt{t^2+2}|+C=[/m]
обратная замена
[m]=ln|(x-1)+\sqrt{x^2+2x+3}|+C[/m]