Задача 64720 3) Интегрирование рациональных дробей...
Условие
математика ВУЗ
176
Решение
★
Выделяем целую часть:
[m]\frac{x^2}{x^2+1}=[/m] прибавим 1 и вычтем 1:
[m]\frac{x^2+1-1}{x^2+1}=\frac{(x^2+1)-1}{x^2+1}=[/m] разделим почленно:
[m]\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}[/m]
Тогда
[m] ∫ \frac{x^2}{x^2+1}dx= ∫ (1-\frac{1}{x^2+1})dx=x-arctgx+C[/m]
2.
Выделяем целую часть:
[m]\frac{x^4}{x^2-3}=[/m] вычтем 9 и прибавим 9:
m]\frac{x^4-9+9}{x^2-3}=\frac{(x^4-9)+9}{x^2-3}=[/m] разделим почленно:
[m]\frac{x^4-9}{x^2-3}+\frac{9}{x^2-3}=(x^2+3)+\frac{9}{x^2-3}[/m]
Тогда
[m] ∫ \frac{x^4}{x^2-3}dx= ∫ (x^2+3+\frac{9}{x^2-3})dx=\frac{x^3}{3}+3x+9\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}ln|\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}|+C[/m]
