Задача 64651 Две стороны треугольника равны 4sqrt(2)...

6284be90a8c8db0851178688

18.05.2022 12:42:52

Две стороны треугольника равны 4sqrt(2) см и 1 см, а радиус окружности, описанной вокруг треугольника, относится к третьей стороне, как 1 : sqrt(2). Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

626fab9a354ab65fb2f43abb

18.05.2022 13:57:52

★

Стороны треугольника a = 1, b = 4sqrt(2).
Обозначим радиус описанной окружности, как R = x, тогда третья сторона будет c = x*sqrt(2).
Потому что они относятся друг к другу, как 1 : sqrt(2).
Для площади треугольника есть формула:
S = abc/(4R) = 1*4sqrt(2)*x*sqrt(2)/(4x) = 1*4*2/4 = 2
С другой стороны, площадь можно найти по формуле Герона:
p = P/2 = (a+b+c)/2 = (1 + 4sqrt(2) + x*sqrt(2))/2
p - a = (1 + 4sqrt(2) + x*sqrt(2))/2 - 1 = (4sqrt(2) + x*sqrt(2) - 1)/2
p - b = (1 + 4sqrt(2) + x*sqrt(2))/2 - 4sqrt(2) = (1 - 4sqrt(2) + x*sqrt(2))/2
p - c = (1 + 4sqrt(2) + x*sqrt(2))/2 - x*sqrt(2) = (1 + 4sqrt(2) - x*sqrt(2))/2
S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)) = sqrt((1 + 4sqrt(2) + x*sqrt(2))/2*
*(4sqrt(2) + x*sqrt(2) - 1)/2*(1 - 4sqrt(2) + x*sqrt(2))/2*(1 + 4sqrt(2) - x*sqrt(2))/2)
S = sqrt((1 + 4sqrt(2) + x*sqrt(2))*(4sqrt(2) + x*sqrt(2) - 1)*
*(1 - 4sqrt(2) + x*sqrt(2))*(1 + 4sqrt(2) - x*sqrt(2)))/4 = 2
Отсюда:
sqrt((1 + 4sqrt(2) + x*sqrt(2))*(4sqrt(2) + x*sqrt(2) - 1)*(1 - 4sqrt(2) + x*sqrt(2))*(1 + 4sqrt(2) - x*sqrt(2))) = 8
Возводим в квадрат:
(1 + 4sqrt(2) + x*sqrt(2))*(4sqrt(2) + x*sqrt(2) - 1)*(1 - 4sqrt(2) + x*sqrt(2))*(1 + 4sqrt(2) - x*sqrt(2)) = 64

Теперь надо решить это уравнение. Раскрываем скобки:
(4sqrt(2) + 16*2 + 4x*2 + x*sqrt(2) + 4x*2 + x^2*2 - 1 - 4sqrt(2) - x*sqrt(2))*
*(1 - 4sqrt(2) + x*sqrt(2) + 4sqrt(2) - 16*2 + 4x*2 - x*sqrt(2) + 4x*2 - x^2*2) = 64
Приводим подобные в скобках:
(31 + 16x + 2x^2)*(- 31 + 16x - 2x^2) = 64
Окончательно раскрываем скобки:
-961 - 496x - 62x^2 + 496x + 256x^2 + 32x^3 - 62x^2 - 32x^3 - 4x^4 = 64
И снова приводим подобные:
-4x^4 + 132x^2 - 1025 = 0
Поменяем знаки, чтобы x^4 был с плюсом:
4x^4 - 132x^2 + 1025 = 0
Получили биквадратное уравнение, решаем его, как квадратное:
D/4 = 66^2 - 4*1025 = 4356 - 4100 = 256 = 16^2
x1^2 = (66 - 16)/4 = 50/4; x2^2 = (66 + 16)/4 = 82/4
Так как задача про треугольники, отрицательные корни не подходят.
x1 = sqrt(50/4) = sqrt(25/2) = sqrt(25)/sqrt(2) = 5/sqrt(2)
Третья сторона c1 = x1*sqrt(2) = 5/sqrt(2)*sqrt(2) = 5
x2 = sqrt(82/4) = sqrt(41/2) = sqrt(41)/sqrt(2)
Третья сторона c2 = x2*sqrt(2) = sqrt(41)/sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(41)
Всего получилось 2 решения:
[b]c1 = 5; c2 = sqrt(41)[/b]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.05.2022 14:21:19

По условию:
a= 1, b = 4√2
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, относится к третьей стороне, как 1 : √2.
[m]R:c= 1 : √2[/m] ⇒ [m]\frac{c}{R}=√2 [/m]


По теореме синусов:

[m]\frac{c}{sin ∠ C}=2R[/m] ⇒ [m]\frac{c}{2R}=sin ∠ C [/m]


[m]\frac{1}{2}\frac{c}{R}=sin ∠ C [/m] и так как [m]\frac{c}{R}=√2 [/m]

⇒ [m]sin ∠ C=\frac{\sqrt{2}}{2} [/m] ⇒

∠ C=45 ° или ∠ C=135 °


По теореме косинусов

c^2=a^2+b^2-2*a*b*cos ∠ C

если

∠ C=45 ° ⇒ c^2=1^2+(4√2)^2-2*1*4√2*cos 45 ° ⇒ c^2=25

[b]c=5[/b]

если
∠ C=135 ° ⇒ c^2=1^2+(4√2)^2-2*1*4√2*cos 135 ° ⇒ c^2=41

[b][m]c=\sqrt{41}[/m][/b]

О т в е т 5 или sqrt(41)