Задача 64645 Найти область сходимости ряда...

626001b9df5e297460eda97c

17.05.2022 18:58:58

Найти область сходимости ряда

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.05.2022 19:58:40

★

[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{|a_{n}}{|a_{n+1}|}=lim_{n → ∞ }\frac{(n+2)\cdot 5^{n+1}}{(n+1)\cdot 5^{n}}=5[/m]

(3-5; 3+5)=(-2;8) - [i]интервал[/i] сходимости



Осталось проверить сходимость ряда на концах

При x=-2 получаем числовой ряд

∑ ^(∞ )_(n=1)[m]\frac{(-1)^{n}}{(n+1)\cdot 5^{n}}\cdot (-2-3)^{n}[/m]

Упрощаем и получаем ∑ ^(∞ )_(n=1)[m]\frac{1}{n+1}[/m] это гармонический ряд. Он расходится.



При x=8 получаем числовой ряд

∑ ^(∞ )_(n=1)[m]\frac{(-1)^{n}}{(n+1)\cdot 5^{n}}\cdot (8-3)^{n}[/m]

Упрощаем и получаем ∑ ^(∞ )_(n=1)[m]\frac{(-1)^{n}}{n+1}[/m] знакочередующийся ряд
Сходится по признаку Лейбница
1) Последовательность [m](\frac{1}{n+1})[/m] монотонно убывающая.

2) [m](\frac{1}{n+1}) → 0[/m]

О т в е т. (-2;8] - [b]область[/b] сходимости