Задача 64639 Найти область сходимость ряда ...

62591e89b439494c6a7b4288

17.05.2022 11:13:22

Найти область сходимость ряда

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.05.2022 20:31:52

★

[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{(n+4)\cdot 2^{n+1}}{(n+3)\cdot 2^{n}}=2[/m]

(6-2; 6+2)=(4;8) - [i]интервал[/i] сходимости



Осталось проверить сходимость ряда на концах

При x=4 получаем числовой ряд

∑ ^(∞ )_(n=1)[m]\frac{1}{(n+3)\cdot 2^{n}}\cdot (4-6)^{n}[/m]

Упрощаем и получаем ∑ ^(∞ )_(n=1)[m]\frac{(-1)^{n}}{n+3}[/m] знакочередующийся ряд
Сходится по признаку Лейбница
1) Последовательность [m](\frac{1}{n+3})[/m] монотонно убывающая.

2) [m](\frac{1}{n+3}) → 0[/m]


При x=8 получаем числовой ряд

∑ ^(∞ )_(n=1)[m]\frac{1}{(n+3)\cdot 2^{n}}\cdot (8-6)^{n}[/m]

Упрощаем и получаем ∑ ^(∞ )_(n=1)[m]\frac{1}{n+3}[/m] это гармонический ряд. Он расходится.

О т в е т. [4;8) - [b]область[/b] сходимости