Задача 64638 Исследовать на сходимость ряд...
Условие
математика ВУЗ
102
Решение
★
Так как
[m] 0 ≤ sin^2x ≤1[/m] при любых x
[m]a_{n}=\frac{sin^2n}{n^2} ≤ \frac{1}{n^2}[/m]
a ряд ∑ _(n=1)^( ∞ )[m]\frac{1}{n^2}[/m] cходится.
Обобщенный гармонический ряд ∑ _(n=1)^( ∞ )[m]\frac{1}{n^{ α} }[/m] cходится при [b]α >1[/b]
В данном случае [b]α =2[/b]
Или по интегральному признаку, так как сходится интеграл [m] ∫ _{1}^{ ∞ }\frac{1}{x^{2} }dx=∫ _{1}^{ ∞ }x^{- 2}dx=(\frac{x^{-1}}{-1})|_{1}^{ ∞ }=0-(-1)=1[/m]