Задача 64636 ...
Условие
Найти наибольшее и наименьшее значение функции, ограниченной множеством: z=6xy–x2y–xy2, x+y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0.
Решение
Сначала найдем максимум и минимум в функции z, а потом будем смотреть остальные условия.
1) Необходимое условие экстремума: первые производные равны 0:
{ dz/dx = 6y - 2xy - y^2 = 0
{ dz/dy = 6x - x^2 - 2xy = 0
Умножим 2 уравнение на -1:
{ 6y - 2xy - y^2 = 0
{ - 6x + x^2 + 2xy = 0
Складываем уравнения:
6y - 2xy - y^2 - 6x + x^2 + 2xy = 0
6(y - x) + (x^2 - y^2) = 0
-6(x - y) + (x - y)(x + y) = 0
(x - y)(x + y - 6) = 0
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
1) y = x; x ≥ 0; y ≥ 0
x + y ≤ 12
2x ≤ 12
x ≤ 6; y = x ≤ 6
x1 ∈ [0; 6], y1 = x1
Найдем максимумы и минимумы.
z(0; 0) = 0
z(6; 6) = 6*6*6 – 6^2*6 – 6*6^2 = 216 - 216 - 216 = -216
2) x + y = 6
x ≥ 0; y ≥ 0;
Условие x + y ≤ 12 выполняется автоматически.
y = 6 - x ≥ 0
x ≤ 6
x2 ∈ [0; 6], y2 = 6 - x2
Найдем максимумы и минимумы.
z(0; 6) = 0
z(6; 0) = 0
Попробуем, например, z(3; 3):
z(3; 3) = 6*3*3 – 3^2*3 – 3*3^2 = 54 - 27 - 27 = 0
На всей прямой y = 6- x значение z = 0.
Ответ: Максимум z(0; 0) = 0; минимум z(6; 6) = -216