Задача 64622 4. Найти решение задачи Коши для...
Условие
Решение
Неоднородное линейное уравнение 1 порядка.
Решается заменой y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - u*v*ctg(x) = 2x*sin(x)
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' - v*ctg(x)) = 2x*sin(x)
Скобку приравниваем к 0:
v' - v*ctg(x) = 0
Получаем уравнение с разделенными переменными:
dv/dx = v*ctg(x)
dv/v = ctg(x) dx
ln v = ln |sin(x)|
v = sin(x)
Подставляем в уравнение:
u'*sin(x) + u*0 = 2x*sin(x)
Делим всё на sin x:
u' = 2x
u = x^2 + C
Возвращаемся к функции y = u*v:
[b]y(x) = (x^2 + C)*sin(x)[/b] - это общее решение
Решаем задачу Коши: y(π/2) = 0
0 = (π^2/4 + C)*sin(π/2) = (π^2/4 + C)*1
C = -π^2/4
[b]y(x) = (x^2 - π^2/4)*sin(x)[/b] - это решение задачи Коши