Задача 64576 Материальная точка движется по прямой со...

61499cc87c1408291d4044fd

16.05.2022 00:33:07

Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному
пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и
имела скорость v0 = 20 м/с. Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала
движения.

626fab9a354ab65fb2f43abb

16.05.2022 12:09:21

★

Формула скорости:
v(t) = 1/s(t) + v0; s0 = 5 м, v0 = 20 м/с
Найти: s(10 с); v(10 с)
Решение:
Скорость - это производная от пути по времени.
v(t) = s'(t)
Получаем дифференциальное уравнение 1 порядка:
s'(t) = 1/s(t)
ds/dt = 1/s
s ds = 1 dt
Уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем обе части:
s^2/2 = t + C/2
s^2 = 2t + C
s(t) = sqrt(2t + C)
Решаем задачу Коши, находим С:
s(0) = 5
5 = sqrt(2*0 + C) = sqrt(C)
C = 5^2 = 25
s(t) = sqrt(2t + 25) м
v(t) = 1/sqrt(2t + 25) + v0 м/с = 1/sqrt(2t + 25) + 20 м/с
s(10) = sqrt(2*10 + 25) = sqrt(45) м
v(10) = 1/sqrt(2*10 + 25) + 20 = 1/sqrt(45) + 20 м/с
Ответ: s(10) = sqrt(45) м; v(10) = 1/sqrt(45) + 20 м/с