Задача 64575 Решим систему уравнений...
Условие
Решение
{ y2' = 8y1 + 3y2
Решаем методом исключения.
Сводим систему к одному уравнению от одной переменной.
Другую переменную исключаем. Выразим y2 из 1 уравнения:
y2 = 1/2*y1 - 1/2*y1'
Берем производную y2':
y2' = 1/2*y1' - 1/2*y1''
И подставляем во 2 уравнение:
1/2*y1' - 1/2*y1'' = 8y1 + 3(1/2*y1 - 1/2*y1')
Умножаем всё на 2 и переносим на одну сторону:
0 = -y1' + y1'' + 16y1 + 3y1 - 3y1'
Приводим подобные:
y1'' - 4y1' + 19y1 = 0
Получили обычное линейное однородное уравнение 2 порядка.
Характеристическое уравнение:
k^2 - 4k + 19 = 0
k^2 - 4k + 4 + 15 = 0
(k - 2)^2 + 15 = 0
Имеет два комплексных корня:
k1 = 2 - sqrt(15)*i
k2 = 2 + sqrt(15)*i
Решением этого дифференциального уравнения является функция:
y1 = (A*cos (sqrt(15)*x) + B*sin (sqrt(15)*x))*e^(2x)
y1' = (B*sqrt(15)*cos (sqrt(15)*x) - A*sqrt(15)*sin (sqrt(15)*x))*e^(2x) +
2(A*cos (sqrt(15)*x) + B*sin (sqrt(15)*x))*e^(2x)
Приводим подобные:
y1' = ((2A+B*sqrt(15))*cos (sqrt(15)*x) + (2B-A*sqrt(15))sin (sqrt(15)*x))*e^(2x)
y2 = 1/2*y1 - 1/2*y1'
Подставляем y1 и y1':
y2 = 1/2*(A*cos (sqrt(15)*x) + B*sin (sqrt(15)*x))*e^(2x) -
- 1/2*((2A+B*sqrt(15))*cos (sqrt(15)*x) + (2B-A*sqrt(15))sin (sqrt(15)*x))*e^(2x)
Упрощаем и получаем:
y2 = 1/2*((-A-B*sqrt(15))*cos (sqrt(15)*x) + (-B+A*sqrt(15))*sin (sqrt(15)*x))*e^(2x)
Ответ обычно записывают в виде системы:
{ y1 = (A*cos (sqrt(15)*x) + B*sin (sqrt(15)*x))*e^(2x)
{ y2 = 1/2*((-A-B*sqrt(15))*cos (sqrt(15)*x) + (-B+A*sqrt(15))*sin (sqrt(15)*x))*e^(2x)