Задача 64569 2.Показать, что данные дифференциальные...
Условие
Решение
Нужно заменить все x на kx, все y на ky, а y' оставить, как есть.
А потом сократить все k по максимуму.
Если мы придем к изначальному уравнению - то оно однородное.
а) [m]y' = \sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}} + \frac{y}{x}[/m]
Заменяем все x на kx и все y на ky:
[m]y' = \sqrt{1 - \frac{k^2y^2}{k^2x^2}} + \frac{ky}{kx}[/m]
Сокращаем:
[m]y' = \sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}} + \frac{y}{x}[/m]
Получилось то же самое уравнение, значит, оно однородное.
Решаем его заменой y/x = t; y = tx; y' = t'*x + t
t'*x + t = sqrt(1 - t^2) + t
Вычитаем t и вместо t' пишем dt/dx:
dt/dx*x = sqrt(1 - t^2)
dt/sqrt(1 - t^2) = dx/x
Интегрируем. Интегралы табличные и слева, и справа:
arcsin (t) = ln x + ln C = ln (Cx)
t = y/x = sin (ln (Cx))
[b]y = x*sin (ln (Cx))[/b]
б) [m]xy' = \frac{3y^3+2x^2y}{2y^2+x^2}[/m]
Делим всё на x:
[m]y' = \frac{3y^3+2x^2y}{2y^2x+x^3}[/m]
Заменяем все x на kx и все y на ky:
[m]y' = \frac{3k^3y^3+2k^2x^2*ky}{2k^2y^2*kx+k^3x^3}[/m]
Сокращаем k^3:
[m]y' = \frac{3y^3+2x^2y}{2y^2x+x^3}[/m]
Получилось то же самое уравнение, значит, оно однородное.
Решаем его заменой y/x = t; y = tx; y' = t'*x + t
[m]t'*x + t = \frac{3t^3x^3 + 2x^2tx}{2t^2x^2x+x^3}[/m]
Справа можно сократить x^3:
[m]t'*x + t = \frac{3t^3 + 2t}{2t^2+1}[/m]
Вычитаем t и вместо t' пишем dt/dx:
[m]\frac{dt}{dx}*x = \frac{3t^3 + 2t}{2t^2+1} - t = \frac{3t^3 + 2t - 2t^3 - t}{2t^2+1} = \frac{t^3 + t}{2t^2 + 1}[/m]
[m]\frac{2t^2 + 1}{t^3 + t} dt = \frac{dx}{x}[/m]
Левая часть решается методом неопределенных коэффициентов.
[m]\frac{2t^2 + 1}{t^3 + t} = \frac{A}{t} + \frac{Bt+C}{t^2+1} = \frac{A(t^2+1) + t(Bt+C)}{t(t^2+1)} = \frac{At^2 + A + Bt^2 + Ct}{t^3+t} = \frac{(A+B)t^2 + Ct + A}{t^3+t}[/m]
Составляем систему из коэффициентов при разных степенях:
{ A + B = 2 (коэффициенты при t^2)
{ С = 0 (коэффициенты при t)
{ A = 1 (свободные члены)
Получаем:
A = 1; B = 1; C = 0
Разложение левой части на сумму дробей:
[m]\frac{2t^2 + 1}{t^3 + t} = \frac{1}{t} + \frac{t}{t^2+1}[/m]
Подставляем в наше уравнение:
[m](\frac{1}{t} + \frac{t}{t^2+1}) dt = \frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем:
ln t + 1/2*ln (t^2+1) = ln x + ln C
ln (t*sqrt(t^2+1)) = ln (Cx)
Обратная замена t = y/x и избавляемся от логарифмов:
[b]y/x*sqrt(y^2/x^2+1) = Cx[/b]
Получить отсюда прямую формулу y = f(x) невозможно.
Оставляем, как есть.