Задача 64563 Найти предел ( расписать подробно ибо я...
Условие
Решение
Здесь нужно вычесть эти дроби, то есть свести их к одной.
Я пока отвлекусь от предела, и просто разберусь с дробями.
Сначала разложим на множители знаменатели:
1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)
1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)
Теперь домножаем 1 дробь на (1 + x), а 2 дробь на (1 + x + x^2):
[m]\frac{3}{1-x^3} - \frac{2}{1-x^2} = \frac{3(1+x) - 2(1+x+x^2)}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)} = \frac{3+3x - 2-2x-2x^2}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)}=[/m]
[m]=\frac{1+x-2x^2}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)}=\frac{(1-x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)}=[/m]
Поясню отдельно, как я разложил на множители числитель:
-2x^2 + x + 1 = -2x^2 + 2x - x + 1 = 2x(1 - x) + (1 - x) = (1 - x)(2x + 1)
Хотя это совсем просто и не должно вызывать затруднений.
И теперь мы можем сократить (1-x), для этого мы тут и старались.
[m]=\frac{1+2x}{(1+x)(1+x+x^2)}[/m]
Теперь можно вернуться к пределу и просто подставить x = 1:
[m]lim_{x \rightarrow 1} \frac{1+2x}{(1+x)(1+x+x^2)} = \frac{1+2*1}{(1+1)(1+1+1^2)} = \frac{3}{2*3} = \frac{1}{2}[/m]
Ответ: 1/2