Задача 64559 При каких a система имеет 4 решения? ...
Условие
математика 10-11 класс
796
Решение
★
{ x^2 = y^2
Из второго уравнения получаем два варианта:
1) x = -y; 2) x = y
В обоих случаях x^2 + y^2 = 2x^2
2x^2 = 4 + 2ax - a^2
2x^2 - 2ax + (a^2 - 4) = 0
Решаем квадратное уравнение:
D/4 = a^2 - 2*(a^2 - 4) = a^2 - 2a^2 + 8 = 8 - a^2
Если это уравнение имеет 2 корня, то D/4 > 0
8 - a^2 > 0
a^2 - 8 < 0
(a - sqrt(8))(a + sqrt(8)) < 0
[b]a ∈ (- sqrt(8); sqrt(8))[/b]
В этом случае переменная x будет иметь 2 значения:
x1 = (a - sqrt(8 - a^2))/2
x2 = (a + sqrt(8 - a^2))/2
А переменная y будет иметь 4 значения:
y1 = -x1; y2 = x1; y3 = -x2; y4 = x2.
Таким образом, система будет иметь 4 решения.