Задача 64556 2. Найти общее решение дифференциальных...
Условие
Решение
(1 - x)dy = (1 + y)dx
dy/(1 + y) = dx/(1 - x)
ln |1 + y| = -ln |1 - x| + ln С = ln (C/(1 - x))
1 + y = C/(1 - x)
[b]y = C/(1 - x) - 1[/b]
2) (1 + y^2)dx + (1 + x^2)dy = 0
(1 + x^2)dy = - (1 + y^2)dx
dy/(1 + y^2) = -dx/(1 + x^2)
arctg y = -arctg x + С
[b]y = tg(С - arctg x)[/b]
3) (1 + e^(x))*y*y' = e^(x)
y*dy/dx = e^(x)/(1 + e^(x))
y*dy = e^(x)/(1 + e^(x)) dx
Интегрируем с заменой: e^(x) = t; dt = e^(x) dx
y^2/2 = ∫ dt/(1 + t) = ln(1 + t) + ln C = ln (1 + e^(x)) + ln C
y^2/2 = ln (C(1 + e^(x))) = ln (С + Сe^(x))
[b]y = sqrt(2ln (С + Сe^(x)))[/b]
4) x*sqrt(1+y^2) + y*y'*sqrt(1+x^2) = 0
y*y'*sqrt(1+x^2) = -x*sqrt(1+y^2)
y/sqrt(1+y^2) dy/dx = -x/sqrt(1+x^2)
y*dy/sqrt(1+y^2) = -x*dx/sqrt(1+x^2)
Интегрируем с заменой.
Слева: 1+y^2 = z; dz = 2y*dy; y*dy = 1/2*dz
Справа: 1+x^2 = t; dt = 2x*dx; x*dx = 1/2*dt
∫ dz/2sqrt(z) = - ∫ dt/2sqrt(t)
sqrt(1+y^2) = -sqrt(1+x^2) + C
1+y^2 = (C - sqrt(1+x^2))^2
[b]y = sqrt((C - sqrt((1+x^2)))^2 - 1)[/b]