Задача 64552 Найти общее решение линейных...
Условие
Решение
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
1) y' + 2y = e^(x)
u'*v + u*v' + 2u*v = e^(x)
Выносим за скобки u:
u'*v + u(v' + 2v) = e^(x)
Скобку приравниваем к 0.
v' + 2v = 0
Получаем уравнение с разделенными переменными:
dv/dx = -2v
dv/v = -2dx
ln |v| = -2x
v = e^(-2x)
Подставляем в наше уравнение:
u'*e^(-2x) + u*0 = e^(x)
du/dx = e^(3x)
u = 1/3*e^(3x) + C
Возвращаемся к переменной y = u*v:
y = (1/3*e^(3x) + C)*e^(-2x)
[b]y = 1/3*e^(x) + C*e^(-2x)[/b]
2) y' - 2xy = 2x*e^(x^2)
u'*v + u*v' - 2x*u*v = 2x*e^(x^2)
Выносим за скобки u:
u'*v + u(v' - 2xv) = 2x*e^(x^2)
Скобку приравниваем к 0.
v' - 2xv = 0
Получаем уравнение с разделенными переменными:
dv/dx = 2xv
dv/v = 2xdx
ln |v| = x^2
v = e^(x^2)
Подставляем в наше уравнение:
u'*e^(x^2) + u*0 = 2x*e^(x^2)
u' = 2x
u = x^2 + С
Возвращаемся к переменной y = u*v:
[b]y = (x^2 + С)*e^(x^2)[/b]
3) y' + 2xy = e^(-x^2)
u'*v + u*v' + 2x*u*v = e^(-x^2)
Выносим за скобки u:
u'*v + u(v' + 2xv) = e^(-x^2)
Скобку приравниваем к 0.
v' + 2xv = 0
Получаем уравнение с разделенными переменными:
dv/dx = -2xv
dv/v = -2xdx
ln |v| = -x^2
v = e^(-x^2)
Подставляем в наше уравнение:
u'*e^(-x^2) + u*0 = e^(-x^2)
u' = 1
u = x + С
Возвращаемся к переменной y = u*v:
[b]y = (x + С)*e^(-x^2)[/b]