Задача 64545 Можете решить 5 и 6 задание...
Условие
Решение
а) (x-5)/2 = (y+1)/4 = z/(-7)
Задать прямую параметрически:
(x-5)/2 = (y+1)/4 = z/(-7) = t
Построим систему:
{ x - 5 = 2t
{ y + 1 = 4t
{ z = -7t
Выделим переменные слева:
{ x = 2t + 5
{ y = 4t - 1
{ z = -7t
Это и есть параметрические уравнения прямой в пространстве.
б) Дана прямая m, имеющая направляющий вектор a(2; -1/3; 2/5).
Точка M(-9; 4; 0) принадлежит m.
i) Каноническое уравнение прямой m:
(x + 9)/2 = (y - 4)/(-1/3) = z/(2/5)
ii) Параметрические уравнения прямой m:
(x + 9)/2 = (y - 4)/(-1/3) = z/(2/5) = t
Строим систему:
{ x + 9 = 2t
{ y - 4 = -t/3
{ z = 2t/5
Выделим переменные слева:
{ x = 2t - 9
{ y = -t/3 + 4
{ z = 2t/5
Это и есть параметрические уравнения прямой m.
6 задание.
Дано:
[m](\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})*\overrightarrow{c}=0[/m]; [m](\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})*\overrightarrow{a}=0[/m]
Доказать, что
[m](\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})*\overrightarrow{b}=0[/m]
Раскроем скобки:
[m]\overrightarrow{a}*\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}*\overrightarrow{c}=0[/m]
[m]\overrightarrow{b}*\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}*\overrightarrow{a}=0[/m]
Складываем эти уравнения:
[m]\overrightarrow{a}*\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}*\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}*\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}*\overrightarrow{a} = 0[/m]
Группируем:
[m](\overrightarrow{a}*\overrightarrow{c} - \overrightarrow{c}*\overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{b}*\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}*\overrightarrow{c}) = 0[/m]
1 скобка сама равна 0, во второй скобке выносим b:
[m](\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c})*\overrightarrow{b}=0[/m]
Это тоже самое, что:
[m](\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})*\overrightarrow{b}=0[/m]
Что и требовалось доказать.
7 задание.
Угол между вектором a(5; -1; 7) и осью Ox.
Направляющий вектор оси Ox: i(1; 0; 0)
Угол между двумя векторами можно найти по формуле:
[m]cos(\phi) = \frac{a*i}{|a|*|i|} = \frac{5*1-1*0+7*0}{\sqrt(5^2+(-1)^2+7^2)*1} = \frac{5}{\sqrt(25+1+49)}=\frac{5}{\sqrt(75)}=\frac{1}{\sqrt(3)}[/m]
[m]\phi = arccos(\frac{1}{\sqrt(3)}) [/m]