Задача 64542 Найти область сходимости степенного ряда...
Условие
математика ВУЗ
138
Решение
★
Исследуем этот ряд, например, по признаку Даламбера:
[m]\lim_{n\rightarrow \infty} (a_{n+1}/a_{n})[/m]
Если этот предел < 1, то ряд сходится.
Если этот предел > 1, то ряд расходится.
Если этот предел = 1, то определить невозможно.
[m]lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{x^{n+1}}{(n+1+3)*5^{n+1}}:\frac{x^n}{(n+3)*5^n})=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x(n+3)}{(n+4)*5}=\frac{x}{5}*lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+3}{n+4}=\frac{x}{5}[/m]
Решаем неравенство:
x/5 < 1
x < 5
x ∈ (-5; 5) - область сходимости ряда.
Ответ: (-5; 5)