Задача 64541 Исследовать на локальный экстремум...
Условие
Решение
1) Необходимое условие локального экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
dz/dx = 2x + y - 6 = 0
dz/dy = x + 2y - 9 = 0
Решаем систему. Умножаем 1 уравнение на -2:
{ -4x - 2y + 12 = 0
{ x + 2y - 9 = 0
Складываем уравнения:
-3x + 3 = 0
x = 1
y = 6 - 2x = 6 - 2*1 = 4
z(1; 4) = 1^2 + 1*4 + 4^2 - 6*1 - 9*4 = -21
2) Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/(dx^2) = (2x + y - 6)'_(x) = 2 > 0
B = d^2z/(dxdy) = (2x + y - 6)'_(y) = 1
C = d^2z/(dy^2) = (x + 2y - 9)'_(y) = 2
Находим выражение:
D = A*C - B^2 = 2*2 - 1 = 3 > 0
Достаточное условие локального экстремума:
Если D > 0 и A > 0 - это точка минимума.
Если D > 0 и A < 0 - это точка максимума.
Если D < 0 - это НЕ точка экстремума, а седловая точка.
Если D = 0 - определить нельзя, нужны другие методы.
В нашем случае D = 3 > 0, A = 2 > 0.
Точка z(1; 4) = -21 - это точка минимума.